Verifique que cada um dos seguintes limites é igual a zero. Sugestão. Mostre que o limite lim substackx x0 y y0|f(x, y)| é zero, mostrando que |f(x, y)| <=|g(x, y)| e que lim substackx x0 y y0|g(x, y)| = 0.
  1. lim substackx 0 y 0 x^2raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
limsubstackxto0 yto0 x^2raizx^2 + y^2 = 0,
usando o truque de comparar |f(x,y)| com uma função |g(x,y)| que tende a zero.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y) = x^2raizx^2 + y^2
e estudamos seu valor absoluto:
|f(x,y)| = |x|^2raizx^2 + y^2

Passo 3

Note que raizx^2 + y^2 >= |x|, pois y^2 >= 0 implica x^2 + y^2 >= x^2 e portanto
raizx^2 + y^2 >= raizx^2 = |x|
Logo
|f(x,y)| = |x|^2raizx^2 + y^2 <= |x|^2|x| = |x|

Passo 4

Tomamos g(x,y) = |x|. Como
limsubstackxto0 yto0 g(x,y) = limsubstackxto0 yto0 |x| = 0,
pelo Teorema do Confronto (Squeeze) segue que
0 <= |f(x,y)| <= g(x,y) to 0 Longrightarrow limsubstackxto0 yto0 f(x,y) = 0

Resposta

0

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