Calcule integralC F cdot d r=integrala^b F(sigma(t)) cdot sigma^prime(t) d t, onde F: C subset R^n longrightarrow R^n (função vetorial) e C uma curva, definida pela função sigma:[a, b] longrightarrow R^n.
Verifique que integralC F cdot d r é independente do caminho, achando seu potencial, em caso afirmativo
F(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralCFcdot d r ;=;integrala^bFl(sigma(t)r)cdotsigma'(t),dt
para
F(x,y,z)=(y+z,;x+z,;x+y),
e verificar se essa integral é independente do caminho, isto é, se existe uma função potencial f tal que F=nabla f.

Passo 2

Para ver se F é conservativa, calculamos o rotacional nablatimes F. Lembrando que
nablatimes F = partial F3partial y-partial F2partial z[1em] partial F1partial z-partial F3partial x[1em] partial F2partial x-partial F1partial y ,
temos
partial F3partial y-partial F2partial z =;1-1=0, partial F1partial z-partial F3partial x =;1-1=0, partial F2partial x-partial F1partial y =;1-1=0
Logo
nablatimes F=(0,0,0),
e F é conservativa em qualquer região simplesmente conexa.]

Passo 3

Buscamos f(x,y,z) tal que
partial fpartial x=y+z, partial fpartial y=x+z, partial fpartial z=x+y
Integramos a primeira:
f(x,y,z)=integral(y+z),dx = x,y + x,z + h(y,z)
Em seguida, diferenciamos em relação a y:
partial fpartial y = x + partial hpartial y = x+z Longrightarrow partial hpartial y=z Longrightarrow h(y,z)=y,z + k(z)
Por fim, diferenciamos em z:
partial fpartial z = x + y + k'(z) = x+y Longrightarrow k'(z)=0 Longrightarrow k(z)=const
Podemos então tomar, sem perda,
f(x,y,z)=x,y + x,z + y,z

Passo 4

Como F=nabla f, a integral de linha independe do caminho e vale
integralCFcdot d r = fl(sigma(b)r)-fl(sigma(a)r)

Resposta

A função potencial é
f(x,y,z)=x,y + x,z + y,z,
e, para a curva sigma:[a,b]toR^3,
integralCFcdot d r = l[x(b)y(b)+x(b)z(b)+y(b)z(b)r] - l[x(a)y(a)+x(a)z(a)+y(a)z(a)r]

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