Resolva os PVIs
(t+x+3) d t+d x=0, x(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI definido pela equação diferencial
(t + x + 3),dt + dx = 0
com condição inicial x(0)=1.
O conteúdo aqui é resolução de EDO de primeira ordem linear usando fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por dt para colocar na forma padrão
dxdt + x = -,t - 3
Aqui identificamos P(t)=1 e Q(t)=-t-3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral 1,dt = e^t

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(t):
e^tdxdt + e^t x = (-t - 3)e^t
O lado esquerdo é a derivada de x e^t, ou seja,
ddtl(x e^tr) = (-t - 3)e^t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
x e^t = integral(-t - 3)e^t,dt + C
Para calcular a integral, separamos
integral(-t)e^t,dt = -t e^t + e^t, integral(-3)e^t,dt = -3e^t,
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integral(-t - 3)e^t,dt = -t e^t -2e^t,
e obtemos
x e^t = -t e^t - 2e^t + C

Passo 6

Isolamos x e aplicamos a condição inicial:
x(t) = -t - 2 + C e^-t,
e como x(0)=1 temos
1 = -0 - 2 + C implies C = 3

Resposta

x(t) = -t - 2 + 3e^-t

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