Dada f(x)=sen 2 x cos 2 x, mostrar que f(x) é ímpar e f^prime(x) é par.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a paridade de f(x)=sin 2xcos 2x e de sua derivada f'(x). Em outras palavras, devemos usar as definições:
bul<=t f é ímpar se ,f(-x)=-f(x),.
bul<=t g é par se ,g(-x)=g(x),.

Passo 2

Calculamos f(-x):
f(-x)=sinl(2(-x)r),cosl(2(-x)r) =sin(-2x),cos(-2x)
Como sin(-2x)=-sin2x e cos(-2x)=cos2x, segue
f(-x)=l(-sin2xr),cos2x=-l(sin2xcos2xr)=-f(x)
Logo f é ímpar.

Passo 3

Para achar f'(x) usamos ou a regra do produto ou a identidade
sin2xcos2x=tfrac12sin4x
Escolhendo esta última, temos
f(x)=tfrac12sin4x Longrightarrow f'(x)=tfrac12cdot4cos4x=2cos4x

Passo 4

Verificamos a paridade de f':
f'(-x)=2cosl(4(-x)r)=2cos(-4x)=2cos4x=f'(x),
pois o cosseno é função par. Assim f' é par.

Resposta

f(x) é ímpar e f'(x) é par.

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