Considere a integral , em que é a região do plano delimitada e compreendida entre as retas e . Faça o que se pede:
(b) Reescreva e represente a região de integração nas novas coordenadas e determine os limites de integração.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a integral dupla de sobre a região limitada por , , e . O conteúdo envolve mudança de variáveis e determinação dos limites no novo sistema.
Passo 2
Para simplificar o integrando, definimos as novas variáveis e . Invertendo temos
O fator de escala (jacobiano) é
Passo 3
Agora traduzimos cada fronteira de R em condições sobre (u,v):
x+y=1 vira u=1
x+y=2 vira u=2
x=0 dá tfracu-v2=0 ou v=u
y=0 dá tfracu+v2=0 ou v=-u
Passo 4
Com isso, a região transformada D no plano (u,v) fica dada por
1<= u<= 2, -u<= v<= u
Resposta
Na mudança de variáveis u=x+y, v=y-x, a região fica