Considere a integral integralR integral e^y-xy+x d x d y, em que R é a região do plano x y delimitada e compreendida entre as retas x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0. Faça o que se pede:
(b) Reescreva e represente a região de integração nas novas coordenadas e determine os limites de integração.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral dupla de e^y-xy+x sobre a região R limitada por x+y=1, x+y=2, x=0 e y=0. O conteúdo envolve mudança de variáveis e determinação dos limites no novo sistema.

Passo 2

Para simplificar o integrando, definimos as novas variáveis u=x+y e v=y-x. Invertendo temos
x=u-v2, y=u+v2
O fator de escala (jacobiano) é
l|Jr|=|partial(x,y)partial(u,v)|=12

Passo 3

Agora traduzimos cada fronteira de R em condições sobre (u,v):
  • x+y=1 vira u=1
  • x+y=2 vira u=2
  • x=0 tfracu-v2=0 ou v=u
  • y=0 tfracu+v2=0 ou v=-u

Passo 4

Com isso, a região transformada D no plano (u,v) fica dada por
1<= u<= 2, -u<= v<= u

Resposta

Na mudança de variáveis u=x+y, v=y-x, a região fica
D=(u,v):1<= u<= 2,;-u<= v<= u

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