Determine o centro de massa do tetraedro do primeiro octante limitados pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=2, sendo que a densidade rho(x, y, z) em cada ponto igual a distância de tal ponto ao plano x y. Resp.: (45, 25, 25).

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um tetraedro no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados (x=0, y=0, z=0) e pelo plano x+y+z=2, com densidade igual à distância ao plano yz (isto é, ρ(x,y,z)=x). Vamos usar integrais triplas para calcular a massa total e os momentos, e daí obter ,(\bar x,\bar y,\bar z).

Passo 2

Para a massa total M temos\
M=integral triplaV ρ,dV=integral triplaV x,dV
Como a região V é dada por 0≤x≤2, 0≤y≤2−x, 0≤z≤2−x−y, montamos:
M=integralx=0^2integraly=0^2-xintegralz=0^2-x-y x,dz,dy,dx
Integrando em z: integral0^2-x-ydz=2-x-y, segue
M=integral0^2integral0^2-x x,(2-x-y),dy,dx =integral0^2 xl[(2-x)y-tfracy^22r]y=0^2-x,dx =integral0^2 tfracx(2-x)^22,dx =tfrac12integral0^2(x(4-4x+x^2)),dx
Fazendo a integral obtemos M=tfrac23.

Passo 3

Agora calculamos o momento em relação ao plano yz, que será usado para bar x:
integral triplaV x,ρ,dV=integral triplaV x^2,dV =integral0^2integral0^2-xintegral0^2-x-y x^2,dz,dy,dx =integral0^2integral0^2-x x^2(2-x-y),dy,dx
Integrando em y e depois em x, chega-se a
integral triplaV x^2,dV=tfrac815
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bar x=1Mintegral triplaV x^2,dV=tfrac815tfrac23=45

Passo 4

Para bar y e bar z precisamos dos momentos integral triplaV x,y,dV e integral triplaV x,z,dV. Por simetria na troca de y com z na descrição da região, ambos dão o mesmo valor:
integral triplaV x,y,dV=integral triplaV x,z,dV=tfrac415
Então
bar y=tfrac415tfrac23=25, bar z=tfrac415tfrac23=25

Passo 5

Reunindo tudo, o centro de massa fica
l(bar x,bar y,bar zr)=l(tfrac45,tfrac25,tfrac25r).

Resposta

(4/5, 2/5, 2/5)

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