Determine o centro de massa do tetraedro do primeiro octante limitados pelos planos coordenados e pelo plano
, sendo que a densidade
em cada ponto igual a distância de tal ponto ao plano
. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um tetraedro no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados (x=0, y=0, z=0) e pelo plano x+y+z=2, com densidade igual à distância ao plano yz (isto é, ρ(x,y,z)=x). Vamos usar integrais triplas para calcular a massa total e os momentos, e daí obter ,(\bar x,\bar y,\bar z).
Passo 2
Para a massa total
temos\
Como a região V é dada por 0≤x≤2, 0≤y≤2−x, 0≤z≤2−x−y, montamos:
Integrando em z:
, segue
Fazendo a integral obtemos
.
Passo 3
Agora calculamos o momento em relação ao plano yz, que será usado para
:
Integrando em y e depois em x, chega-se a
Logo
Passo 4
Para
e
precisamos dos momentos
e
. Por simetria na troca de y com z na descrição da região, ambos dão o mesmo valor:
Então
Passo 5
Reunindo tudo, o centro de massa fica
.
Resposta
(4/5, 2/5, 2/5)