Use o Teorema de Green para calcular a área da região D delimitada pela curva
C: r(t)=(t^2, t^33,-t), -raiz3 <= t <= raiz3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a área da região $ D $ que está delimitada pela curva $ C $. A curva $ C $ é dada pela função vetorial:
D
Pra resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para encontrar áreas e calcular integrais ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ D $ que $ C $ delimita. Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos a seguinte fórmula:
C Á
Então, nosso objetivo é parametrizar $ x $ e $ y $ em termos de $ t $, e depois calcular essa integral.

Passo 3

Vamos identificar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $ da nossa curva $ \mathbf{r}(t) $:
x(t)
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
y(t)
Substituindo na fórmula da área:
r(t) Á
Vamos substituir $ x(t) $, $ y(t) $, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $:
x(t) = t^2, y(t) = t^33 Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
x
Então, a área fica:
y Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral- raiz3^raiz3 t^4 dt. Como $ t^{4} $ é uma função par (ou seja, $ t^{4} = (-t)^{4} $), podemos simplificar a integral:
t^4
Calculando a integral:
t^4 = (-t)^4
Agora, voltando à expressão da área:
integral- raiz3^raiz3 t^4 dt = 2 integral0^raiz3 t^4 dt Á

Resposta

A área da região $ D $ é $ \displaystyle \frac{3,\sqrt{3}}{5} $.

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