Use o Teorema de Green para calcular a área da região
delimitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a área da região $ D $ que está delimitada pela curva $ C $. A curva $ C $ é dada pela função vetorial:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para encontrar áreas e calcular integrais ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ D $ que $ C $ delimita. Para calcular a área usando o Teorema de Green, usamos a seguinte fórmula:
Então, nosso objetivo é parametrizar $ x $ e $ y $ em termos de $ t $, e depois calcular essa integral.
Passo 3
Vamos identificar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $ da nossa curva $ \mathbf{r}(t) $:
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Substituindo na fórmula da área:
Vamos substituir $ x(t) $, $ y(t) $, $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a área fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Como $ t^{4} $ é uma função par (ou seja, $ t^{4} = (-t)^{4} $), podemos simplificar a integral:
Calculando a integral:
Agora, voltando à expressão da área:
Resposta
A área da região $ D $ é $ \displaystyle \frac{3,\sqrt{3}}{5} $.