Calcule
, onde
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
, onde
e a curva
é dada pela parametrização
,
. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, então precisamos de
e de
para montar o produto escalar.
Passo 2
Calculamos primeiro a derivada da parametrização:
$$\vec r,
Passo 3
(t)=\frac{d}{dt}\langle t3,-t2,t\rangle=\langle3t^2,-2t,1\rangle
\vec F(\vec r(t))=\bigl\langle\sin(t3),\cos(-t2),t^3\cdot t\bigr\rangle=\langle\sin(t3),\cos(t2),t^4\rangle$$
Passo 4
O produto escalar fica
$$\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r,
Passo 5
(t)=3t2\sin(t3)-2t\cos(t2)+t4$$
Passo 6
Reconhecemos que
Passo 7
Então a integral é
$$\int_01\bigl[3t2\sin(t3)-2t\cos(t2)+t^4\bigr]dt
=\Bigl[-\cos(t3)-\sin(t2)+\tfrac{t5}{5}\Bigr]_01
\bigl(-\cos1-\sin1+\tfrac15\bigr)-(-1)=1-\cos1-\sin1+\tfrac15=\tfrac{6}{5}-\cos1-\sin1.$$