Calcule integralC F cdot d r, onde C é parametrizada por r.
F(x, y, z)=lang<=sen x, cos y, x zrang<=, r(t)=lang<= t^3,-t^2, trang<=, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha integralC vec Fcdot dvec r, onde vec F(x,y,z)=lang<=sin x,cos y,xzrang<= e a curva C é dada pela parametrização vec r(t)=lang<= t^3,-t^2,trang<=, 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, então precisamos de vec r,'(t) e de vec F(vec r(t)) para montar o produto escalar.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada da parametrização:
$$\vec r,

Passo 3

(t)=\frac{d}{dt}\langle t3,-t2,t\rangle=\langle3t^2,-2t,1\rangle Agora substituímos $x=t^3$, $y=-t^2$, $z=t$ em $vec F$: í\vec F(\vec r(t))=\bigl\langle\sin(t3),\cos(-t2),t^3\cdot t\bigr\rangle=\langle\sin(t3),\cos(t2),t^4\rangle$$

Passo 4

O produto escalar fica
$$\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r,

Passo 5

(t)=3t2\sin(t3)-2t\cos(t2)+t4$$

Passo 6

Reconhecemos que
3t^2sin(t^3)=ddtl(-cos(t^3)r), -2tcos(t^2)=ddtl(-sin(t^2)r)

Passo 7

Então a integral é
$$\int_01\bigl[3t2\sin(t3)-2t\cos(t2)+t^4\bigr]dt
=\Bigl[-\cos(t3)-\sin(t2)+\tfrac{t5}{5}\Bigr]_01 integral0^1l[3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^4r]dt =l[-cos(t^3)-sin(t^2)+tfract^55r]0^1áá\bigl(-\cos1-\sin1+\tfrac15\bigr)-(-1)=1-\cos1-\sin1+\tfrac15=\tfrac{6}{5}-\cos1-\sin1.$$

Resposta

65-cos(1)-sin(1)

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