Calcule a integral de linha
integralC(2 x^2+8 z) d s, C: x=e^t, y=t^2, z=t, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC (2x^2 + 8z),ds, onde a curva C está parametrizada por x=e^t, y=t^2, z=t para 0<= t<=1. O conteúdo envolve integrais de linha de função escalar e o elemento de comprimento de arco ds.

Passo 2

Vamos parametrizar a curva por r(t)=(e^t,,t^2,,t). Então a integral vira integral0^1 (2x(t)^2 + 8z(t)),| r'(t)|,dt.

Passo 3

Calculamos r'(t)=(e^t,,2t,,1), logo
| r'(t)|=raiz(e^t)^2+(2t)^2+1^2=raize^2t+4t^2+1

Passo 4

Substituindo na integral temos
integral0^1l(2e^2t+8tr)raize^2t+4t^2+1,dt

Passo 5

Observamos que se definirmos f(t)=e^2t+4t^2+1, então
f'(t)=2e^2t+8t,
e o integrando é exatamente f'(t)raizf(t). Logo usamos a primitiva
integral f'(t)raizf(t),dt=23l(f(t)r)^3/2+C

Passo 6

Aplicando os limites de 0 a 1:
23l[(e^2+5)^3/2-(2)^3/2r]

Resposta

23l((e^2+5)^3/2-2raiz2r)

Exercícios relacionados