Determine o trabalho realizado pelo campo de força
em uma partícula que se move sobre a curva
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o trabalho realizado por um campo de força
quando uma partícula se move ao longo de uma curva
. Aqui, o campo de força é dado por
e a curva
é parametrizada por
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho de um campo de força ao longo de uma curva, o que envolve cálculo vetorial e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do trabalho realizado por um campo de força
ao longo de uma curva
parametrizada por
:
Isso significa que precisamos calcular a integral de linha do campo de força
ao longo da curva
. Para isso, vamos substituir
na expressão de
e encontrar
em termos de
.
Passo 3
Vamos encontrar
, que é o campo de força ao longo da curva. Substituindo
em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
até
para encontrar o trabalho
:
Vamos resolver essa integral separadamente:
- Para
, fazemos a substituição , então . A integral então vira . - Para
, basta integrar normalmente: .
Portanto,
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.