Determine o trabalho realizado pelo campo de força F em uma partícula que se move sobre a curva C
F(x, y)=lang<= e^x-1, x yrang<=, C é dada por r(t)=lang<= t^2, t^3rang<=, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o trabalho realizado por um campo de força F quando uma partícula se move ao longo de uma curva C. Aqui, o campo de força é dado por F(x, y) = lang<= e^x-1, x y rang<= e a curva C é parametrizada por r(t) = lang<= t^2, t^3 rang<= para 0 <= t <= 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho de um campo de força ao longo de uma curva, o que envolve cálculo vetorial e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do trabalho realizado por um campo de força F ao longo de uma curva C parametrizada por r(t):
W = integralC F cdot dr
Isso significa que precisamos calcular a integral de linha do campo de força F ao longo da curva C. Para isso, vamos substituir r(t) na expressão de F e encontrar dr em termos de t.

Passo 3

Vamos encontrar F(r(t)), que é o campo de força ao longo da curva. Substituindo r(t) = lang<= t^2, t^3 rang<= em F(x, y):
F(r(t)) = lang<= e^t^2-1, t^2 cdot t^3 rang<= = lang<= e^t^2-1, t^5 rang<=

Passo 4

Agora, vamos calcular dr, que é a derivada de r(t) em relação a t:
r'(t) = ddt lang<= t^2, t^3 rang<= = lang<= 2t, 3t^2 rang<=

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = e^t^2-1 cdot 2t + t^5 cdot 3t^2 = 2t e^t^2-1 + 3t^7

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de t = 0 até t = 1 para encontrar o trabalho W:
W = integral0^1 ( 2t e^t^2-1 + 3t^7 ) dt
Vamos resolver essa integral separadamente:
  1. Para integral 2t e^t^2-1 dt, fazemos a substituição u = t^2 - 1, então du = 2t dt. A integral então vira integral e^u du = e^u + C = e^t^2-1 + C.
  2. Para integral 3t^7 dt, basta integrar normalmente: 38 t^8 + C.
Portanto,
W = [ e^t^2-1 + 38 t^8 ]0^1 = ( e^1-1 + 38 cdot 1^8 ) - ( e^0-1 + 38 cdot 0^8 ) = (1 + 38) - (e^-1 + 0) = 118 - 1e

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é W = 118 - 1e unidades de trabalho.

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