Calcule integralC F, onde:
F(x, y)=(x^2+y^2, x^2-y^2) e C é o círculo centrado na origem, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral de linha fechada ointC Fcdot d r, com F(x,y)=(x^2+y^2,,x^2-y^2) e C o círculo centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é integral de linha e o teorema de Green.

Passo 2

Como C é um círculo fechado simples e regular, podemos usar o teorema de Green:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA, onde P(x,y)=x^2+y^2 e Q(x,y)=x^2-y^2, e D é o disco interior a C.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 2x, partial Ppartial y = 2y

Passo 4

Então o integrando de Green é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 2y

Passo 5

Para avaliar integral duplaD (2x-2y),dA, usamos coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta. Seja o raio do círculo R (no caso usual R=1), temos:
integral duplaD (2x-2y),dA = integral0^2piintegral0^R l(2rcostheta - 2rsinthetar),r,dr,dtheta

Passo 6

Separando a integral:
integral0^2pi2costheta,dtheta integral0^Rr^2,dr ;- integral0^2pi2sintheta,dtheta integral0^Rr^2,dr

Passo 7

Como integral0^2picostheta,dtheta = 0 e integral0^2pisintheta,dtheta = 0, toda a integral dupla se anula.
Portanto, pela igualdade de Green, a integral de linha também vale zero.

Resposta

0

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