Calcule as seguintes integrais iteradas:
integral0^1 integral0^1|x-y| d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral iterada $ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |x - y| , dy , dx $. Esse exercício está relacionado a integrais duplas e envolve o cálculo de uma função que depende da diferença entre $ x $ e $ y $. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto dentro da integral e dividir a região de integração de forma apropriada.

Passo 2

Primeiro, precisamos analisar a função $ |x - y| $. O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele mude de sinal dependendo dos valores de $ x $ e $ y $. Especificamente:
  • Se $ x \geq y $, então $ |x - y| = x - y $.
  • Se $ x < y $, então $ |x - y| = y - x $.
Isso significa que precisamos dividir a região de integração em duas partes: uma onde $ x \geq y $ e outra onde $ x < y $.

Passo 3

A região de integração é o quadrado $ [0,1] \times [0,1] $ no plano $ xy $. A linha $ x = y $ divide esse quadrado em duas regiões iguais:
  1. Região 1: Onde $ x \geq y $ (abaixo da linha $ x = y $).
  2. Região 2: Onde $ x < y $ (acima da linha $ x = y $).
Vamos calcular a integral em cada uma dessas regiões separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos a integral na Região 1 onde $ x \geq y $:
x >= y
Aqui, $ y $ varia de 0 até $ x $ para cada valor de $ x $ entre 0 e 1.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
y
Agora, a integral fica:
integral0^x (x - y) , dy = [ x y - y^22 ]0^x = x cdot x - x^22 - 0 = x^22

Passo 6

Em seguida, calculamos a integral na Região 2 onde $ x < y $:
x < y
Aqui, $ y $ varia de $ x $ até 1 para cada valor de $ x $ entre 0 e 1.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
y
Agora, a integral fica:
integralx^1 (y - x) , dy = [ y^22 - x y ]x^1 = ( 12 - x ) - ( x^22 - x^2 ) = 12 - x - x^22 + x^2 = 12 - x + x^22
Calculando cada parte:
integral0^1 ( 12 - x + x^22 ) , dx = 12 integral0^1 1 , dx - integral0^1 x , dx + 12 integral0^1 x^2 , dx

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas regiões:
16 + 16 = 26 = 13

Resposta

O valor da integral iterada é $ \frac{1}{3} $.

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