Calcule as seguintes integrais iteradas:
Passo 1
Vamos resolver a integral iterada $ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |x - y| , dy , dx $. Esse exercício está relacionado a integrais duplas e envolve o cálculo de uma função que depende da diferença entre $ x $ e $ y $. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto dentro da integral e dividir a região de integração de forma apropriada.
Passo 2
Primeiro, precisamos analisar a função $ |x - y| $. O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele mude de sinal dependendo dos valores de $ x $ e $ y $. Especificamente:
- Se $ x \geq y $, então $ |x - y| = x - y $.
- Se $ x < y $, então $ |x - y| = y - x $.
Isso significa que precisamos dividir a região de integração em duas partes: uma onde $ x \geq y $ e outra onde $ x < y $.
Passo 3
A região de integração é o quadrado $ [0,1] \times [0,1] $ no plano $ xy $. A linha $ x = y $ divide esse quadrado em duas regiões iguais:
- Região 1: Onde $ x \geq y $ (abaixo da linha $ x = y $).
- Região 2: Onde $ x < y $ (acima da linha $ x = y $).
Vamos calcular a integral em cada uma dessas regiões separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos a integral na Região 1 onde $ x \geq y $:
Aqui, $ y $ varia de 0 até $ x $ para cada valor de $ x $ entre 0 e 1.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Em seguida, calculamos a integral na Região 2 onde $ x < y $:
Aqui, $ y $ varia de $ x $ até 1 para cada valor de $ x $ entre 0 e 1.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
Agora, a integral fica:
Calculando cada parte:
Passo 8
Finalmente, somamos os resultados das duas regiões:
Resposta
O valor da integral iterada é $ \frac{1}{3} $.