Determine as constantes para que as integrais sejam independentes do caminho:
integralC(a z^2-y^2 sen(x)) d x+b y cos (x) d y+x z d z.

Passo 1

Neste exercício temos a integral de linha integralC (a z^2 - y^2 sin(x)),dx + b y cos(x),dy + x z,dz. O conteúdo aqui é campos vetoriais conservativos e formas diferenciais exatas em R^3. Queremos achar as constantes a e b para que essa integral seja independente do caminho, ou seja, para que o campo F=(P,Q,R) seja conservativo.

Passo 2

Definimos as componentes do campo vetor: P(x,y,z)=a z^2 - y^2 sin(x), Q(x,y,z)=b y cos(x), R(x,y,z)=x zEm região simplesmente conexa, F é conservativo se e só se nablatimes F=0, o que equivale às condições de exatidão: partial P/partial y=partial Q/partial x, partial P/partial z=partial R/partial x e partial Q/partial z=partial R/partial y.

Passo 3

Calculamos partial P/partial z e partial R/partial x:
partial Ppartial z=2a z, partial Rpartial x=z
Igualando para todo z obtemos 2a z=z, logo 2a-1=0 e portanto a=tfrac12.

Passo 4

Calculamos partial P/partial y e partial Q/partial x:
partial Ppartial y=-2ysin(x), partial Qpartial x=-b ysin(x)
Igualando para todo y,x temos -2ysin(x)=-b ysin(x), o que dá b=2.

Passo 5

Por fim, verificamos a terceira condição: partial Q/partial z=0 e partial R/partial y=0. Como já são iguais, não surgem novas restrições, confirmando que a=tfrac12 e b=2 garantem exatidão do campo.

Resposta

a=tfrac12 e b=2.

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