Calcule integralC f, onde:
f(x, y)=2 x y^2 e C é parametrizada por gamma(t)=(cos (t), sen(t)), 0 <= t <= pi2.

Passo 1

Temos que calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=2xy^2 ao longo da curva C dada pela parametrização gamma(t)=(cos t,sin t) para 0<= t<=pi/2. O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, e vamos usar a fórmula
integralC f,ds=integrala^b f(gamma(t)),lVertgamma'(t)rVert,dt

Passo 2

Substituímos a parametrização em f e calculamos a derivada de gamma:
f(gamma(t))=2cos t,(sin t)^2=2cos tsin^2 t,
gamma'(t)=(-sin t,cos t)RightarrowlVertgamma'(t)rVert=raizsin^2 t+cos^2 t=1

Passo 3

Escrevemos a integral em função de t:
integralC f,ds=integral0^pi/22cos tsin^2 tcdot1,dt=integral0^pi/22cos tsin^2 t,dt

Passo 4

Para calcular I=integral0^pi/22cos tsin^2 t,dt, fazemos a substituição u=sin t, logo du=cos t,dt. Os limites vão de u(0)=0 até u(pi/2)=1:
I=2integral0^1u^2,du=2[u^33]0^1=23

Resposta

23

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