Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial F(x,y,z)= (x² + y³ + z⁴, x y z, x z + y z). O conteúdo envolvido são derivadas parciais, usando as definições de ∇·F e ∇×F.
Passo 2
Para obter a divergência, recordamos que, para F=(P,Q,R),
$$\nabla\cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.
$$
Aqui temos:
- ⇒
.
- ⇒
.
- ⇒
.
Somando, obtém-se .
Aqui temos:
-
-
-
Somando, obtém-se
Passo 3
Para o rotacional, usamos a definição
Calculamos cada componente:
-
e , logo componente é . -
e , logo componente é . -
e , logo componente é .
Assim,.
Resposta
Divergência: 3x + xz + y; Rotacional: (z – xy, 4z³ – z, yz – 3y²)