Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
F(x, y, z)=(x^2+y^3+z^4, x y z, x z+y z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial F(x,y,z)= (x² + y³ + z⁴, x y z, x z + y z). O conteúdo envolvido são derivadas parciais, usando as definições de ∇·F e ∇×F.

Passo 2

Para obter a divergência, recordamos que, para F=(P,Q,R),
$$\nabla\cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.
$$
Aqui temos:
- nablacdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z P=x^2+y^3+z^4.
- partial P/partial x = 2x Q=xyz.
- partial Q/partial y = xz R=xz+yz.
Somando, obtém-se partial R/partial z = x+y.

Passo 3

Para o rotacional, usamos a definição
nablatimes F = gl(partial Rpartial y - partial Qpartial z,,partial Ppartial z - partial Rpartial x,,partial Qpartial x - partial Ppartial ygr)
Calculamos cada componente:
  • partial R/partial y = z e partial Q/partial z = xy, logo componente 1 é z - xy.
  • partial P/partial z = 4z^3 e partial R/partial x = z, logo componente 2 é 4z^3 - z.
  • partial Q/partial x = yz e partial P/partial y = 3y^2, logo componente 3 é yz - 3y^2.
    Assim, nablatimes F = (z - xy,,4z^3 - z,,yz - 3y^2).

Resposta

Divergência: 3x + xz + y; Rotacional: (z – xy, 4z³ – z, yz – 3y²)

Exercícios relacionados