Represente geometricamente o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar geometricamente o domínio da função $ f(x, y) = \frac{\ln [y-2]}{\sqrt{y - x^{2}}} $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente sobre domínios de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, quais valores de $ x $ e $ y $ tornam a expressão válida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte do numerador: $ \ln [y - 2] $. Sabemos que o logaritmo natural $ \ln(z) $ está definido apenas quando $ z > 0 $. Então, para $ \ln [y - 2] $ ser válido, precisamos que:
Isso nos dá a primeira condição:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador: $ \sqrt{y - x^{2}} $. A raiz quadrada está definida somente quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero, ou seja:
Rearranjando essa desigualdade, temos:
Então, a segunda condição é:
Passo 4
Para a função $ f(x, y) $ estar definida, ambas as condições devem ser verdadeiras simultaneamente. Portanto, precisamos que:
Isso significa que estamos procurando os valores de $ x $ e $ y $ onde $ y $ é maior que 2 e, ao mesmo tempo, está acima ou sobre a parábola $ y = x^{2} $.
Passo 5
Vamos representar isso geometricamente no plano cartesiano:
- Desenhamos a linha horizontal $ y = 2 $.
- Desenhamos a parábola $ y = x^{2} $.
- A região onde a função está definida é onde $ y $ está acima de 2 e acima ou sobre a parábola. Ou seja, estamos procurando o conjunto de pontos que estão acima de ambas as curvas.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \frac{\ln [y-2]}{\sqrt{y - x^{2}}} $ é o conjunto de todos os pontos $ (x, y) $ no plano onde $ y > 2 $ e $ y \geq x^{2} $. Geometricamente, isso corresponde à região acima da linha $ y = 2 $ e acima ou sobre a parábola $ y = x^{2} $.