Considere a função
, se
e 0 , se
. Determine
e mostre que
não existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) $ que muda de definição dependendo se o ponto
é
ou não. O objetivo é encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto
e mostrar que a derivada parcial em relação a $ x $ nesse mesmo ponto não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limite e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $. A derivada parcial em relação a $ y $ no ponto
é o limite da razão incremental quando $ h $ tende a zero:
Passo 3
Vamos calcular $ f(0, h) $. Quando $ x = 0 $ e $ y = h $, a função fica:
E sabemos que $ f(0,0) = 0 $.
Passo 4
Substituindo na expressão da derivada parcial:
Portanto, $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0 $.
Passo 5
Agora, vamos verificar $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) $. Usamos a definição:
Calculando $ f(h, 0) $:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 6
O limite $ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2}} $ não existe porque, à medida que $ h $ se aproxima de zero, $ \frac{1}{h^{2}} $ cresce sem limites (vai para infinito). Portanto, $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) $ não existe.
Resposta
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto
é $ 0 $. Já a derivada parcial em relação a $ x $ no mesmo ponto não existe.