Considere a função f(x, y)=x+y^4x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) e 0 , se (x, y)=(0,0). Determine partial fpartial y(0,0) e mostre que partial fpartial x(0,0) não existe

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) $ que muda de definição dependendo se o ponto f(x, y) é (x, y) ou não. O objetivo é encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto (0,0) e mostrar que a derivada parcial em relação a $ x $ nesse mesmo ponto não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limite e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) $. A derivada parcial em relação a $ y $ no ponto partial fpartial y(0,0) é o limite da razão incremental quando $ h $ tende a zero:
y

Passo 3

Vamos calcular $ f(0, h) $. Quando $ x = 0 $ e $ y = h $, a função fica:
f(0, h)
E sabemos que $ f(0,0) = 0 $.

Passo 4

Substituindo na expressão da derivada parcial:
partial fpartial y(0,0) = limh to 0 h^2 - 0h = limh to 0 h = 0
Portanto, $ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0 $.

Passo 5

Agora, vamos verificar $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) $. Usamos a definição:
partial fpartial x(0,0)
Calculando $ f(h, 0) $:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Substituindo na expressão da derivada:
f(h, 0)

Passo 6

O limite $ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2}} $ não existe porque, à medida que $ h $ se aproxima de zero, $ \frac{1}{h^{2}} $ cresce sem limites (vai para infinito). Portanto, $ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) $ não existe.

Resposta

A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto f é $ 0 $. Já a derivada parcial em relação a $ x $ no mesmo ponto não existe.

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