Calcule
para os seguintes dados. Se
é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de
. Esboce C.
,
a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
(trabalho) para o campo
e para a curva
dada por
indo de
a
. Vamos usar parametrização e a definição de integral de linha de campo vetorial.
Passo 2
Parametrizamos
por
com
. O diferencial é
. Graficamente,
é uma hélice de raio 1 em torno do eixo
, subindo duas voltas até
.
Passo 3
No ponto
, o campo vale
. O produto escalar fica
Passo 4
Usamos a identidade
para reescrever o integrando. Assim
Passo 5
Calculamos cada parte separadamente:
-
por partes ( , ) dá . -
. -
. -
.
Somando, uma primitiva é
Passo 6
Avaliamos
de 0 a
:
No limite superior: fornece
.
No limite inferior: dá
.
A diferença é .
No limite superior:
No limite inferior:
A diferença é
Resposta
6\pi