Calcule integralC F(r) cdot d r para os seguintes dados. Se F é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de C. Esboce C.
F=[z, x, y], C: r=[cos t, sen t, t] d e(1,0,0) a (1,0,4 pi).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha integralCvec Fcdot dvec r (trabalho) para o campo vec F=[z,x,y] e para a curva C dada por vec r(t)=(cos t,sin t,t) indo de (1,0,0) a (1,0,4pi). Vamos usar parametrização e a definição de integral de linha de campo vetorial.

Passo 2

Parametrizamos C por vec r(t)=(cos t,sin t,t) com 0<= t<=4pi. O diferencial é dvec r=vec r,'(t),dt=(-sin t,cos t,1),dt. Graficamente, C é uma hélice de raio 1 em torno do eixo z, subindo duas voltas até z=4pi.

Passo 3

No ponto vec r(t), o campo vale vec F(vec r(t))=(t,cos t,sin t). O produto escalar fica
vec Fcdot dvec r = (t,cos t,sin t)cdot(-sin t,cos t,1) = -tsin t + cos^2 t + sin t

Passo 4

Usamos a identidade cos^2 t=tfrac12(1+cos2t) para reescrever o integrando. Assim
integral0^4pi(-tsin t + cos^2 t + sin t),dt = integral0^4pil(-tsin t + tfrac12 + tfrac12cos2t + sin tr),dt

Passo 5

Calculamos cada parte separadamente:
  • integral -tsin t,dt por partes ( u=-t, dv=sin t,dt) dá tcos t-sin t.
  • integral sin t,dt = -cos t.
  • integral tfrac12,dt = tfrac t2.
  • integral tfrac12cos2t,dt = tfrac14sin2t.
    Somando, uma primitiva é
G(t)=tcos t - sin t - cos t + tfrac t2 + tfrac14sin2t

Passo 6

Avaliamos G(t) de 0 a 4pi:
No limite superior: t=4pi fornece 4picdot1 -0 -1 +2pi +0 =6pi -1.
No limite inferior: t=0 0-0-1+0+0 = -1.
A diferença é (6pi -1) - (-1) = 6pi.

Resposta

6\pi

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