Calcule para os seguintes dados. Se é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de . Esboce C.
.

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular o trabalho integralC vec Fcdot dvec r do campo vetorial vec F(x,y)=[x y^2,,x^2 y] ao longo da curva C dada por vec r(t)=[cosh t,sinh t,0], 0<= t<=2. Conteúdo: integral de linha de campo vetorial. Precisamos parametrizar C e usar integrala^bvec F(vec r(t))cdotvec r,'(t),dt.

Passo 2

Parametrização: derivamos vec r(t) e avaliamos vec F em vec r(t). Calculamos
$$\vec r,

Passo 3

Produto escalar:
$$\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r,

Passo 4

Simplificação e substituição: usamos
(sinh t)^2+(cosh t)^2=cosh2t,ddt(sinh t)^2=2sinh t,cosh t
Fazendo u=(sinh t)^2 implica du=2sinh tcosh t,dt. O integrando vira
cosh t,sinh tl((sinh t)^2+(cosh t)^2r),dt=tfrac12(1+2u),du.

Passo 5

Integração nos limites: de t=0 a t=2 temos u(0)=0 e u(2)=(sinh2)^2. Assim
$$\int_0^2\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r,

Passo 6

Esboço da curva: no plano xy, x=cosh t, y=sinh t satisfazem x^2-y^2=1. É o ramo direito da hipérbole, saindo de (1,0) em t=0 até (cosh2,sinh2) em t=2.

Resposta

tfrac12(sinh2)^2+tfrac12(sinh2)^4

Exercícios relacionados