Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto
S = { (x,y,z) ∈ ℝ³ ∣ |x| ≥ 1, |y| < 1 e |z| < 1 }
quanto a ser aberto, fechado ou nenhum dos dois, e encontrar sua fronteira. O conteúdo é topologia em ℝ³, e vamos precisar das definições de conjunto aberto, fechado, interior, aderência (fechamento) e fronteira.

Passo 2

Para decidir se S é aberto, lembramos que um conjunto é aberto se, em todo ponto dele, existe uma bola totalmente contida no conjunto. Em S, a condição |x| ≥ 1 é uma desigualdade “≥” (fechada), enquanto |y| < 1 e |z| < 1 são “<” (abertas). Tome um ponto p ∈ S com |x| = 1. Qualquer bola centrada em p conterá pontos com |x| < 1, que não pertencem a S. Logo, não há raio que mantenha a bola em S. Concluímos que S não é aberto.

Passo 3

Para decidir se S é fechado, usamos que S é fechado se sua complementar for aberto (ou se S contiver todos os seus pontos-limite). Considere um ponto q = (x,y,z) com |x| > 1, |y| = 1 e |z| < 1. Esse q ∉ S, mas toda vizinhança de q contém pontos com |y| < 1 (que estão em S), mostrando que q é ponto-limite de S fora de S. Portanto S não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.

Passo 4

O interior de S, denotado Int(S), é o maior conjunto aberto contido em S. Nas condições |x| ≥ 1, |y| < 1, |z| < 1, para ficarmos num aberto, precisamos tornar todas as desigualdades estritas. Assim
[ \mathrm{Int}(S) = {(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid |x| > 1,;|y| < 1,;|z| < 1} ],
onde cada ponto tem uma pequena bola ainda dentro de S.

Passo 5

A aderência (fechamento) de S, denotada \overline{S}, é o menor conjunto fechado que contém S. Basta trocar todas as desigualdades estritas por “≤” e manter as não-estritas:
[ \overline{S} = {(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid |x| \ge 1,;|y| \le 1,;|z| \le 1} ].

Passo 6

A fronteira de S é definida por ∂S = \overline{S} \setminus \mathrm{Int}(S). Substituindo as descrições acima temos todos os pontos que satisfazem |x| ≥ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1 mas em que pelo menos uma das três desigualdades está “no limite” (igualdade):
[ \partial S = {(x,y,z)\mid |x|=1,;|y|\le1,;|z|\le1},\cup,{(x,y,z)\mid |x|\ge1,;|y|=1,;|z|\le1},\cup,{(x,y,z)\mid |x|\ge1,;|y|\le1,;|z|=1}. ]

Resposta

O conjunto S não é nem aberto nem fechado. Sua fronteira é
partial S = (x,y,z)inR^3mid |x|=1,;|y|<=1,;|z|<=1;cup;(x,y,z)mid |x|>=1,;|y|=1,;|z|<=1;cup;(x,y,z)mid |x|>=1,;|y|<=1,;|z|=1

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