Considere a função
.
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $ é diferenciável no ponto $ (-3, 2) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de duas variáveis, especificamente sobre diferenciabilidade e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente naquele ponto. Para funções de duas variáveis, isso geralmente envolve verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas próximas ao ponto em questão.
Passo 3
Vamos então calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas derivadas parciais existem e são contínuas no ponto $ (-3, 2) $. Como as funções cosseno são contínuas em todo lugar e multiplicamos apenas por constantes, as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ também são contínuas em todos os pontos, incluindo $ (-3, 2) $.
Passo 5
Dado que as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto $ (-3, 2) $, podemos concluir que a função $ f(x, y) $ é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Sim, a função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $ é diferenciável no ponto $ (-3, 2) $ porque possui derivadas parciais que existem e são contínuas nesse ponto.