Considere a função f(x, y)=sen(2 x+3 y).
A função f é diferenciável em (x0, y0)=(-3,2) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $ é diferenciável no ponto $ (-3, 2) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de duas variáveis, especificamente sobre diferenciabilidade e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente naquele ponto. Para funções de duas variáveis, isso geralmente envolve verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas próximas ao ponto em questão.

Passo 3

Vamos então calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y) = sin(2x + 3y)
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas derivadas parciais existem e são contínuas no ponto $ (-3, 2) $. Como as funções cosseno são contínuas em todo lugar e multiplicamos apenas por constantes, as derivadas parciais $ f_x $ e $ f_y $ também são contínuas em todos os pontos, incluindo $ (-3, 2) $.

Passo 5

Dado que as derivadas parciais existem e são contínuas no ponto $ (-3, 2) $, podemos concluir que a função $ f(x, y) $ é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Sim, a função $ f(x, y) = \sin(2x + 3y) $ é diferenciável no ponto $ (-3, 2) $ porque possui derivadas parciais que existem e são contínuas nesse ponto.

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