Calcule integralC nabla f cdot d r, onde f(x, y, z)=x y^2 z+x^2 e C é a curva dada por
x=t^2, y=e^t^2-1, z=t^2+t, -1 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC nabla fcdot dvec r,
onde
f(x,y,z)=x,y^2z + x^2
e a curva C está parametrizada por
x=t^2, y=e^,t^2-1, z=t^2+t, -1<= t<= 0,1
O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos: se F=nabla f, então
integralC Fcdot dvec r = fl(r(t)r)|t=a^t=b

Passo 2

Como nabla f é gradiente de f, podemos usar diretamente
integralCnabla fcdot dvec r = fl(r(0,1)r);-;fl(r(-1)r)

Passo 3

Vamos compor f com a parametrização r(t). Como
x=t^2, y=e^,t^2-1, z=t^2+t,
temos
fl(r(t)r) = t^2,l(e^,t^2-1r)^2,l(t^2+tr);+;(t^2)^2 = t^2,e^,2(t^2-1),(t^2+t);+;t^4

Passo 4

Avaliamo em t=-1 e t=0,1:
  • Para t=-1: x=1, y=e^,1-1=1, z=1-1=0 Longrightarrow f=1cdot1^2cdot0 + 1^2=1
  • Para t=0,1: t^2=0,01, y=e^-0,99, y^2=e^-1,98, z=0,11
fl(r(0,1)r) =0,01;e^-1,98;times0,11 ;+;0,0001 =0,0011,e^-1,98+0,0001

Resposta

integralCnabla fcdot dvec r = fl(r(0,1)r)-fl(r(-1)r) = l(0,0011,e^-1,98+0,0001r)-1 approx -0,99975

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