Determine f(x)=lim n +infty fn(x). Indique o domínio de f.
fn(x)=n x^2n x^2+1

Passo 1

O enunciado nos pede o limite pontual da sequência de funções
fn(x)=n x^2n x^2+1
quando nto+infty, e depois determinar o domínio de f(x)=limntoinftyfn(x). O conteúdo aqui é convergência pontual, que consiste em avaliar o limite de fn(x) para cada x fixo.

Passo 2

Para xneq0, podemos dividir numerador e denominador por n x^2:
fn(x) =n x^2n x^2+1 =11+1n x^2
Como ntoinfty, o termo tfrac1n x^2to0. Logo,
limntoinftyfn(x) =11+0 =1

Passo 3

Para x=0 basta observar diretamente:
fn(0) =ncdot0^2ncdot0^2+1 =0 forall n,
portanto
limntoinftyfn(0)=0

Resposta

A função limite é
f(x)= 0, & x=0, 1, & xneq0
O domínio de f é todo o conjunto dos números reais:
Df=R

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