Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e em caso positivo determine sua função potencial.
F(x, y)=(y^2-2 x) i+2 x y j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r)
com
P(x,y) = y^2 - 2x, Q(x,y) = 2xy
Queremos verificar se F é conservativo em R^2 (que é simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial varphi(x,y) tal que
nabla varphi = F

Passo 2

Para campos definidos em domínio simplesmente conexo, basta conferir se
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x
Calculando, temos
partial Ppartial y = partialpartial yl(y^2 - 2xr) = 2y,
partial Qpartial x = partialpartial xl(2xyr) = 2y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x em todo R^2, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Agora procuramos varphi(x,y) tal que
partial varphipartial x = P(x,y) = y^2 - 2x
Integramos em relação a x:
varphi(x,y) = integral l(y^2 - 2xr),dx = x,y^2 - x^2 + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar g(y), usamos a outra condição
partial varphipartial y = Q(x,y) = 2xy
Derivando a expressão obtida,
partial varphipartial y = partialpartial yl(x,y^2 - x^2 + g(y)r) = 2xy + g'(y)
Para coincidir com Q(x,y)=2xy, precisamos de g'(y)=0, isto é, g(y) é constante.

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é
varphi(x,y) = x,y^2 - x^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

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