Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e em caso positivo determine sua função potencial.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
Queremos verificar se
é conservativo em
(que é simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Para campos definidos em domínio simplesmente conexo, basta conferir se
Calculando, temos
Como
em todo
, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Agora procuramos
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a outra condição
Derivando a expressão obtida,
Para coincidir com
, precisamos de
, isto é,
é constante.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.