Calcule integralC f, onde:
f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2 e C é o círculo x^2+y^2=4 de A=(2,0) a B=(-1, raiz3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo escalar f(x,y)=x^2 - y^2x^2 + y^2 ao longo do arco da circunferência x^2 + y^2 = 4 que vai de A=(2,0) até B=(-1,raiz3). Vamos usar como conteúdo a definição de integral de linha de uma função escalar: integralC f(x,y),ds, onde ds é o elemento de comprimento ao longo de C.

Passo 2

Para parametrizar a circunferência de raio 2 em orientação anti-horária, tomamos
r(theta) = (x(theta),y(theta)) = (2costheta,,2sintheta),
com theta variando de thetaA a thetaB. No ponto A temos thetaA=0 e em B satisfaz costhetaB=-tfrac12, sinthetaB=tfracraiz32, logo thetaB=tfrac2pi3.

Passo 3

Pela parametrização, o diferencial de comprimento é dado por
ds = |r'(theta)|,dtheta = 2,dtheta,
e a função se torna
fl(x(theta),y(theta)r) = (2costheta)^2 - (2sintheta)^2(2costheta)^2 + (2sintheta)^2 = 4cos^2theta - 4sin^2theta4 = cos2theta

Passo 4

Assim a integral de linha fica
integralC f,ds = integraltheta=0^2pi/3 l(cos2thetar),(2,dtheta) = 2integral0^2pi/3 cos2theta,dtheta

Passo 5

Fazendo a integral:
2integral0^2pi/3 cos2theta,dtheta = 2[12sin2theta]0^2pi/3 = l[sin2thetar]0^2pi/3 = sinl(tfrac4pi3r) - sin0 = -raiz32 - 0

Resposta

-\frac{\sqrt3}{2}

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