Calcule integralC f, onde:
f(x, y)=x^2+y^2 e C é a reta que liga os pontos A=(2,0) a B=(0,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x^2+y^2 ao longo do segmento de reta C que vai de A=(2,0) até B=(0,2). O conteúdo principal é integral de linha de função escalar, e para resolver vamos precisar: parametrizar a curva C e usar a fórmula
integralC f,ds = integrala^b fl(x(t),y(t)r),|r'(t)|,dt

Passo 2

Escolhemos uma parametrização linear de C. Seja
r(t) = (x(t),y(t)) = (2-2t,;2t), tin[0,1]
Nesse caso, em t=0 temos r(0)=(2,0)=A e em t=1 temos r(1)=(0,2)=B.

Passo 3

Calculamos primeiro fl(r(t)r) e o vetor derivada:
fl(r(t)r) = (2-2t)^2 + (2t)^2 = 4 - 8t + 8t^2,
r'(t) = (-2,2), |r'(t)| = raiz(-2)^2 + 2^2 = 2raiz2

Passo 4

Agora montamos o integral:
integralC f,ds = integral0^1 l(4 -8t +8t^2r),(2raiz2),dt = 2raiz2integral0^1 (4 -8t +8t^2),dt
Fazendo a integração:
integral0^1 (4 -8t +8t^2),dt = l[4t -4t^2 + 83t^3r]0^1 = 4 -4 + 83 = 83
Logo,
integralC f,ds = 2raiz2 cdot 83 = 16raiz23

Resposta

dfrac16raiz23

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