Calcule integral2^4 d xx^2 raizx^2-4.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: a gente precisa calcular a integral integral2^4 dxx^2raizx^2-4. Esse tipo de integral envolve uma raiz raizx^2-a^2, para a qual a substituição trigonométrica costuma simplificar bastante.

Passo 2

A gente faz a substituição trigonométrica adequada, definindo: x = 2sectheta, ; dx = 2secthetatantheta,dtheta, ; raizx^2-4 = 2tantheta Nesse passo usamos a identidade trigonométrica sec^2theta - 1 = tan^2theta.

Passo 3

Substituindo na integral e simplificando os fatores, a gente chega em: integral2^4 dxx^2raizx^2-4 = integral0^pi/3 2secthetatantheta,dtheta(2sectheta)^2(2tantheta) = integral0^pi/3 costheta4,dtheta Os novos limites aparecem de sectheta = x/2, ou seja, em x=2 temos theta=0 e em x=4 temos theta=pi/3.

Passo 4

A gente integra em theta e aplica os limites: integral0^pi/3 costheta4,dtheta = 14[sintheta]0^pi/3 = 14(sin(pi/3)-0) = raiz38

Resposta

raiz38

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