Calcule a
onde
e a curva
é definida pela semicircunferência de equação
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais ao longo de uma curva. Precisamos calcular a integral de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $ ao longo da semicircunferência definida pela equação $ x^{2} + y^{2} = 4 $ com $ y \geq 0 $, orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de funções em curvas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $ pode ser simplificada na curva $ C $. Como $ C $ é a semicircunferência dada por $ x^{2} + y^{2} = 4 $, substituímos na função:
Isso significa que, ao longo da curva $ C $, o valor de $ f(x, y) $ é sempre 4.
Passo 3
Agora, a integral $ \int_{C} f(x, y) , ds $ se torna:
Aqui, $ ds $ representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva $ C $. Então, a integral está basicamente somando o valor 4 vezes cada pedacinho do comprimento da semicircunferência.
Passo 4
Para resolver a integral, precisamos calcular o comprimento total da semicircunferência $ C $. Sabemos que um círculo completo de raio $ r $ tem comprimento $ 2\pi r $. Como estamos lidando com uma semicircunferência (metade do círculo) e o raio é $ r = 2 $ (já que $ x^{2} + y^{2} = 4 $), o comprimento de $ C $ é:
Passo 5
Substituindo o comprimento de $ C $ na integral, temos:
Resposta
O valor da integral é $ 8\pi $.