Calcule a integralC f(x, y) d s onde f(x, y)=[x^2+y^2] e a curva C é definida pela semicircunferência de equação x^2+y^2=4, y >= 0, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais ao longo de uma curva. Precisamos calcular a integral de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $ ao longo da semicircunferência definida pela equação $ x^{2} + y^{2} = 4 $ com $ y \geq 0 $, orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de funções em curvas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $ pode ser simplificada na curva $ C $. Como $ C $ é a semicircunferência dada por $ x^{2} + y^{2} = 4 $, substituímos na função:
f(x, y) = x^2 + y^2
Isso significa que, ao longo da curva $ C $, o valor de $ f(x, y) $ é sempre 4.

Passo 3

Agora, a integral $ \int_{C} f(x, y) , ds $ se torna:
integralC f(x, y) , ds
Aqui, $ ds $ representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva $ C $. Então, a integral está basicamente somando o valor 4 vezes cada pedacinho do comprimento da semicircunferência.

Passo 4

Para resolver a integral, precisamos calcular o comprimento total da semicircunferência $ C $. Sabemos que um círculo completo de raio $ r $ tem comprimento $ 2\pi r $. Como estamos lidando com uma semicircunferência (metade do círculo) e o raio é $ r = 2 $ (já que $ x^{2} + y^{2} = 4 $), o comprimento de $ C $ é:
C

Passo 5

Substituindo o comprimento de $ C $ na integral, temos:
C

Resposta

O valor da integral é $ 8\pi $.

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