Determine a inclinação da reta tangente em (1,2,7) da curva de interseção da superfície z=3 x^2+y^2 e
[
(a) o plano x=1 \quad(b) o plano y=2

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente ao ponto (1,2,7) da curva obtida pela interseção da superfície z=3x²+y² com dois planos (x=1 e y=2). Vamos usar derivadas parciais para obter a variação de z ao longo de cada curva de interseção.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da função z(x,y). Temos:
partial zpartial x=6x, partial zpartial y=2y

Passo 3

Para o plano x=1, temos uma curva em que y varia. Logo podemos ver z como função de y:
z(y)=3cdot1^2+y^2=3+y^2
A inclinação da reta tangente nessa curva é dz/dy=partial z/partial y avaliado em x=1.

Passo 4

Calculamos em y=2:
dzdy=2yverty=2=2cdot2=4

Passo 5

Para o plano y=2, temos uma curva em que x varia. Assim z fica:
z(x)=3x^2+2^2=3x^2+4
A inclinação da reta tangente é dz/dx=partial z/partial x avaliado em y=2.

Passo 6

Calculamos em x=1:
dzdx=6xvertx=1=6cdot1=6

Resposta

(a) 4, (b) 6

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