Dados ponos
e
, determine o conjunto dos pontos
do espaço que equidistam de
e
, isto é, tais que
.
Sugestão. Considere um sistema de coordenadas com origem em
ponto médio de
e
o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta para a gente encontrar todos os pontos $ P $ no espaço que estão à mesma distância de dois pontos fixos $ A $ e $ B $. A matéria envolvida aqui é geometria espacial, especificamente a ideia de conjuntos de pontos equidistantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de distância no espaço tridimensional e um pouco de álgebra para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ P $ está à mesma distância de $ A $ e $ B $. Isso quer dizer que a distância entre $ P $ e $ A $ é igual à distância entre $ P $ e $ B $, ou seja:
A forma de calcular a distância entre dois pontos no espaço é usando a fórmula da distância, que é uma extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões.
Passo 3
Vamos definir um sistema de coordenadas onde o ponto médio $ M $ de $ AB $ está na origem
e o segmento $ AB $ está alinhado com o eixo $ x $. Assim, podemos representar os pontos $ A $ e $ B $ como:
onde $ 2a $ é o comprimento do segmento $ AB $.
Passo 4
Agora, qualquer ponto $ P $ no espaço tem coordenadas $ (x, y, z) $. A distância de $ P $ a $ A $ é:
E a distância de $ P $ a $ B $ é:
Como $ d(P, A) = d(P, B) $, podemos igualar essas duas expressões.
Passo 5
Igualando as distâncias:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Expandindo os termos:
Observamos que $ x^2 $, $ a^2 $, $ y^2 $ e $ z^2 $ aparecem nos dois lados da equação e se cancelam. Então, ficamos com:
Passo 7
Somando $ 2ax $ em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por $ 4a $ (desde que $ a \neq 0 $):
Resposta
O conjunto dos pontos $ P $ que equidistam de $ A $ e $ B $ é o plano $ yz $, ou seja, todos os pontos com coordenada $ x = 0 $.