Dados ponos A e B, determine o conjunto dos pontos P do espaço que equidistam de A e B, isto é, tais que d(P, A)=d(P, B).
Sugestão. Considere um sistema de coordenadas com origem em M= (0,0,0) ponto médio de A B e A B o eixo dos x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta para a gente encontrar todos os pontos $ P $ no espaço que estão à mesma distância de dois pontos fixos $ A $ e $ B $. A matéria envolvida aqui é geometria espacial, especificamente a ideia de conjuntos de pontos equidistantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de distância no espaço tridimensional e um pouco de álgebra para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que $ P $ está à mesma distância de $ A $ e $ B $. Isso quer dizer que a distância entre $ P $ e $ A $ é igual à distância entre $ P $ e $ B $, ou seja:
P
A forma de calcular a distância entre dois pontos no espaço é usando a fórmula da distância, que é uma extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões.

Passo 3

Vamos definir um sistema de coordenadas onde o ponto médio $ M $ de $ AB $ está na origem M e o segmento $ AB $ está alinhado com o eixo $ x $. Assim, podemos representar os pontos $ A $ e $ B $ como:
AB
onde $ 2a $ é o comprimento do segmento $ AB $.

Passo 4

Agora, qualquer ponto $ P $ no espaço tem coordenadas $ (x, y, z) $. A distância de $ P $ a $ A $ é:
P
E a distância de $ P $ a $ B $ é:
(x, y, z)
Como $ d(P, A) = d(P, B) $, podemos igualar essas duas expressões.

Passo 5

Igualando as distâncias:
raiz(x + a)^2 + y^2 + z^2 = raiz(x - a)^2 + y^2 + z^2
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x + a)^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2

Passo 6

Expandindo os termos:
x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2
Observamos que $ x^2 $, $ a^2 $, $ y^2 $ e $ z^2 $ aparecem nos dois lados da equação e se cancelam. Então, ficamos com:
x^2

Passo 7

Somando $ 2ax $ em ambos os lados:
2ax
Dividindo ambos os lados por $ 4a $ (desde que $ a \neq 0 $):
4ax = 0

Resposta

O conjunto dos pontos $ P $ que equidistam de $ A $ e $ B $ é o plano $ yz $, ou seja, todos os pontos com coordenada $ x = 0 $.

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