Mostre que os pontos
A=(0,0,1), B=(1,0,0) e C=(0,1,0)
são os vértices de um triângulo equilátero.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: A=(0,0,1), B=(1,0,0) e C=(0,1,0). A tarefa é mostrar que esses três pontos são os vértices de um triângulo equilátero. Para resolver isso, vamos precisar calcular as distâncias entre cada par de pontos e verificar se todas essas distâncias são iguais. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço para isso.

Passo 2

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2, z2) é:
d(P,Q) = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Essa fórmula nos dá a “linha reta” que conecta os dois pontos P e Q.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos A e B:
d(A,B) = raiz(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2

Passo 4

Agora, calculamos a distância entre os pontos A e C:
d(A,C) = raiz(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2

Passo 5

Finalmente, calculamos a distância entre os pontos B e C:
d(B,C) = raiz(0 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Resposta

Como todas as distâncias são iguais a raiz2, os pontos A, B e C formam um triângulo equilátero.

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