Calcule
)onde
e
é dado pela curva
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral de linha! A gente precisa calcular a integral de uma função $ f(x, y, z) = e{x{2}+y{2}+z{2}-4} $ ao longo de uma curva $ C $, que é dada pela parametrização $ r(t) = \langle 2 \cos(t), 2 \sin(t), 2t \rangle $ para $ 0 \leq t \leq 4\pi $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular $ \int_{C} f(x, y, z) , ds $. Aqui, $ ds $ representa um elemento de comprimento ao longo da curva $ C $. A integral de linha nesse contexto basicamente soma os valores da função $ f $ ao longo de toda a trajetória da curva, ponderados pelo comprimento infinitesimal $ ds $.
Passo 3
Para resolver, precisamos parametrizar a curva $ C $ usando a função $ r(t) $. Isso significa que vamos expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ t $:
com $ t $ variando de $ 0 $ a $ 4\pi $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a expressão para $ ds $. Sabemos que $ ds = | r’(t) | dt $, onde $ r’(t) $ é a derivada de $ r(t) $ em relação a $ t $. Vamos calcular $ r’(t) $:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de $ r’(t) $:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos $ | r’(t) | = 2\sqrt{2} $, podemos expressar $ ds $ como:
Passo 7
Vamos substituir $ x(t) $, $ y(t) $, $ z(t) $ e $ ds $ na integral:
Simplificando os termos no expoente:
Sabendo que $ \cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1 $:
Então,
Passo 8
Agora, a integral fica:
Entretanto, a função $ e{4t{2}} $ não tem uma antiderivada expressável em termos de funções elementares. Isso significa que não podemos encontrar uma primitiva simples para integrar essa função.
Passo 9
Dado que não podemos integrar $ e{4t{2}} $ de forma exata, precisamos utilizar métodos numéricos ou reconhecer que a integral está relacionada à função erro ($ erf $), que é definida como:
No nosso caso, a integral tem o formato $ \int e{kt{2}} , dt
erfi(x) $):
Passo 10
Portanto, podemos expressar a integral em termos da função $ erfi $:
Sabendo que $ erfi(0) = 0 $, temos:
Resposta
A integral $ \int_{C} f(x, y, z) , ds $ é igual a $ \sqrt{2\pi} \cdot erfi(8\pi) $.