Calcule integralC f(x, y, z) d s)onde f(x, y, z)=e^x^2+y^2+z^2-4 e C é dado pela curva r(t)=lang<= 2 cos (t), 2 sen(t), 2 trang<= onde 0 <= t <= 4 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral de linha! A gente precisa calcular a integral de uma função $ f(x, y, z) = e{x{2}+y{2}+z{2}-4} $ ao longo de uma curva $ C $, que é dada pela parametrização $ r(t) = \langle 2 \cos(t), 2 \sin(t), 2t \rangle $ para $ 0 \leq t \leq 4\pi $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular $ \int_{C} f(x, y, z) , ds $. Aqui, $ ds $ representa um elemento de comprimento ao longo da curva $ C $. A integral de linha nesse contexto basicamente soma os valores da função $ f $ ao longo de toda a trajetória da curva, ponderados pelo comprimento infinitesimal $ ds $.

Passo 3

Para resolver, precisamos parametrizar a curva $ C $ usando a função $ r(t) $. Isso significa que vamos expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de $ t $:
C
com $ t $ variando de $ 0 $ a $ 4\pi $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a expressão para $ ds $. Sabemos que $ ds = | r’(t) | dt $, onde $ r’(t) $ é a derivada de $ r(t) $ em relação a $ t $. Vamos calcular $ r’(t) $:
ds

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de $ r’(t) $:
r'(t)
Simplificando:
| r'(t) | = raiz(-2 sin(t))^2 + (2 cos(t))^2 + (2)^2 = raiz4 sin^2(t) + 4 cos^2(t) + 4

Passo 6

Agora que temos $ | r’(t) | = 2\sqrt{2} $, podemos expressar $ ds $ como:
| r'(t) | = 2raiz2

Passo 7

Vamos substituir $ x(t) $, $ y(t) $, $ z(t) $ e $ ds $ na integral:
x(t)
Simplificando os termos no expoente:
y(t)
Sabendo que $ \cos^{2}(t) + \sin^{2}(t) = 1 $:
z(t)
Então,
ds

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral0^4pi e^4t^2 cdot 2raiz2 , dt = 2raiz2 integral0^4pi e^4t^2 , dt
Entretanto, a função $ e{4t{2}} $ não tem uma antiderivada expressável em termos de funções elementares. Isso significa que não podemos encontrar uma primitiva simples para integrar essa função.

Passo 9

Dado que não podemos integrar $ e{4t{2}} $ de forma exata, precisamos utilizar métodos numéricos ou reconhecer que a integral está relacionada à função erro ($ erf $), que é definida como:
e^4t^2
No nosso caso, a integral tem o formato $ \int e{kt{2}} , dt erf áàçãá erfi(x) $):
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-u^2 , du

Passo 10

Portanto, podemos expressar a integral em termos da função $ erfi $:
erfi
Sabendo que $ erfi(0) = 0 $, temos:
2raiz2 integral0^4pi e^4t^2 , dt = 2raiz2 cdot raizpi2 erfi(2t) |0^4pi = raiz2pi [ erfi(8pi) - erfi(0) ]

Resposta

A integral $ \int_{C} f(x, y, z) , ds $ é igual a $ \sqrt{2\pi} \cdot erfi(8\pi) $.

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