Determine os seguintes limites:
lim t 0^+(pi e n tt, t^t, t sin (1t)).

Passo 1

O exercício pede o limite vetorial limtto0^+l(pi e n tt,;t^t,;tsin(1/t)r). Vamos calcular cada componente usando álgebra, propriedades de expoentes e o teorema do sanduíche.

Passo 2

Para a primeira componente temos pi e n tt=pi e n (o t no numerador cancela com o t do denominador). Logo limtto0^+pi e n tt=pi e n.
Na segunda componente, escrevemos t^t=e^tln t. Como tln tto0 quando tto0^+, segue que t^t=e^tln tto e^0=1.
Para a terceira componente aplicamos o teorema do sanduíche: como l|tsin(1/t)r|<= t e tto0, então tsin(1/t)to0.

Passo 3

Reunindo os resultados, o limite vetorial é composto pelos limites obtidos em cada componente.

Resposta

(\pi e n,;1,;0)

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