Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parámetro dado t:
r(t)=(t e^-t, 2 arctg(t), 2 e^t), t=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor tangente unitário em t=0 para a curva r(t)=(te^-t,2arctan(t),2e^t). Isso envolve calcular a derivada r'(t) e depois normalizá-la em t=0.

Passo 2

Derivamos cada componente de r(t) aplicando regra do produto e derivadas padrão:
r'(t)=l(e^-t(1-t),,21+t^2,,2e^tr)

Passo 3

Avaliamo-la em t=0 e calculamos seu módulo:
r'(0)=(1,2,2),
|r'(0)|=raiz1^2+2^2+2^2=3

Passo 4

Para obter o vetor tangente unitário, dividimos r'(0) pelo seu módulo:
T(0)=13(1,2,2)=l(tfrac13,tfrac23,tfrac23r)

Resposta

l(tfrac13,tfrac23,tfrac23r)

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