Seja r(t)=lang<= t, t, 1+t^2rang<=, então:
a) Encontre a curvatura k(t); e
b) Calcule a curvatura em t=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela função vetorial r(t) = lang<= t, t, 1 + t^2 rang<=. O exercício pede para encontrar a curvatura dessa curva, tanto de forma geral ( k(t)) quanto especificamente quando t = 1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e produto vetorial. Vamos passo a passo entender como calcular essa curvatura!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas da função vetorial r(t). Isso porque a curvatura k(t) depende dessas derivadas.
A primeira derivada, r'(t), representa a velocidade ao longo da curva:
r'(t) = ddt lang<= t, t, 1 + t^2 rang<= = lang<= 1, 1, 2t rang<=
A segunda derivada, r''(t), representa a aceleração:
r''(t) = ddt lang<= 1, 1, 2t rang<= = lang<= 0, 0, 2 rang<=

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre r'(t) e r''(t). O produto vetorial de dois vetores dá um vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é usada no cálculo da curvatura.
r'(t) times r''(t) = i & j & k 1 & 1 & 2t 0 & 0 & 2
Calculando o determinante:
= i(1 cdot 2 - 2t cdot 0) - j(1 cdot 2 - 2t cdot 0) + k(1 cdot 0 - 1 cdot 0)
= 2i - 2j + 0k = lang<= 2, -2, 0 rang<=

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante do produto vetorial:
|r'(t) times r''(t)| = raiz2^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a magnitude da primeira derivada, |r'(t)|, que é:
|r'(t)| = raiz1^2 + 1^2 + (2t)^2 = raiz1 + 1 + 4t^2 = raiz2 + 4t^2

Passo 6

Agora, elevamos essa magnitude ao cubo:
|r'(t)|^3 = (raiz2 + 4t^2)^3 = (2 + 4t^2)^3/2

Passo 7

Com tudo isso, podemos usar a fórmula da curvatura:
k(t) = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3 = 2raiz2(2 + 4t^2)^3/2

Passo 8

Agora, vamos simplificar um pouco essa expressão. Podemos fatorar o denominador:
2 + 4t^2 = 2(1 + 2t^2)
|r'(t)|^3 = (2)^3/2 cdot (1 + 2t^2)^3/2 = 2raiz2 cdot (1 + 2t^2)^3/2
Então, a curvatura fica:

Passo 9

Pronto! Agora temos a expressão da curvatura em função de t. Isso resolve a parte a) do exercício.

Passo 10

Para a parte b), vamos calcular a curvatura quando t = 1. Basta substituir t por 1 na expressão que encontramos:
k(1) = 1(1 + 2(1)^2)^3/2 = 1(1 + 2)^3/2 = 13^3/2 = 13raiz3 = raiz39

Resposta

a) A curvatura é k(t) = dfrac1(1 + 2t^2)^3/2;
b) A curvatura em t = 1 é k(1) = dfracraiz39.

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