Seja , então:
a) Encontre a curvatura ; e
b) Calcule a curvatura em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela função vetorial . O exercício pede para encontrar a curvatura dessa curva, tanto de forma geral () quanto especificamente quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e produto vetorial. Vamos passo a passo entender como calcular essa curvatura!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas da função vetorial . Isso porque a curvatura depende dessas derivadas.
A primeira derivada, , representa a velocidade ao longo da curva:
A segunda derivada, , representa a aceleração:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores dá um vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor é usada no cálculo da curvatura.