Calcule
integralC(x-2 x y) d x+(2 x+y^2) d y
onde C é o arco de curva do gráfico de y^2=4 x-1, indo do ponto (12,-1) até o ponto (54, 2).

Passo 1

Estamos lidando com uma integral de linha integral C(x-2xy),dx+(2x+y^2),dy, onde C é o arco da curva definida por y^2=4x-1, indo de (tfrac12,-1) até (tfrac54,2). O conteúdo é integral de linha de campos não conservativos, e vamos precisar parametrizar a curva para reescrever dx e dy em função de um único parâmetro.

Passo 2

Para parametrizar C, note que de y^2=4x-1 obtemos x=tfracy^2+14. Escolhemos y=t, de t=-1 até t=2. Assim,
em bloco
x(t)=t^2+14, y(t)=t, dx= t2,dt, dy=dt

Passo 3

Agora expressamos P(x,y)=x-2xy e Q(x,y)=2x+y^2 em função de t:
em bloco
P(t)=t^2+14l(1-2tr), Q(t)=2cdott^2+14+t^2=3t^2+12

Passo 4

Substituindo na integral,
em bloco
integral CP,dx+Q,dy=integral-1^2l[P(t),dx+Q(t),dyr]=integral-1^2[(t^2+1)(1-2t)4cdot t2+3t^2+12]dt

Passo 5

Colocando tudo sobre o mesmo denominador 8, o integrando fica
em bloco
t(t^2+1)(1-2t)+(12t^2+4)8=-2t^4+t^3+10t^2+t+48

Passo 6

Integramos termo a termo:
em bloco
F(t)=18l(-tfrac2t^55+tfract^44+tfrac10t^33+tfract^22+4tr)

Passo 7

Agora avaliamos de t=-1 a t=2. Em t=2 obtemos F(2)=tfrac20960 e em t=-1 obtemos F(-1)=-tfrac371480.
Subtraindo,
em bloco
integral C=F(2)-F(-1)=20960+371480=681160

Resposta

681160

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