Qual o volume do maior paralelepípedo retangular inscritível no elipsóide.
x^29+y^216+z^236=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume do maior paralelepípedo retangular que pode ser inscrito no elipsóide dado pela equação:
x^29+y^216+z^236=1
Vamos usar cálculo de otimização para determinar esse volume máximo. Precisamos entender como as dimensões do paralelepípedo se relacionam com a equação do elipsóide e aplicar técnicas de otimização para encontrar o volume máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um paralelepípedo retangular cujos lados estão alinhados com os eixos coordenados. Isso significa que seus vértices terão coordenadas , onde , e são as semi-arestas do paralelepípedo nos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

O volume V = 8abc desse paralelepípedo é dado por:
Isso porque cada lado do paralelepípedo tem comprimento , e , então o volume é .

Passo 4

Como o paralelepípedo está inscrito no elipsóide, cada um de seus vértices deve satisfazer a equação do elipsóide:
a^29 + b^216 + c^236 = 1
Essa é a restrição que vamos usar para encontrar os valores de , e que maximizam o volume.

Passo 5

Nosso objetivo é maximizar o volume sujeito à restrição . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, uma técnica de otimização que ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições.

Passo 6

Introduzimos uma função auxiliar, chamada de Lagrangiana:
L(a, b, c, lambda) = 8abc - lambda(a^29 + b^216 + c^236 - 1)
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 7

Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a partial Lpartial a = 8bc - lambda(2a9) = 0 , partial Lpartial b = 8ac - lambda(2b16) = 0 , partial Lpartial c = 8ab - lambda(2c36) = 0 e partial Lpartial lambda = a^29 + b^216 + c^236 - 1 = 0 , e as igualamos a zero:

Passo 8

Vamos simplificar as equações das derivadas parciais:
  1. Da primeira equação:
8bc = lambda (2a9) Rightarrow lambda = 72bc2a = 36bca
  1. Da segunda equação:
8ac = lambda (2b16) Rightarrow lambda = 128ac2b = 64acb
  1. Da terceira equação:
8ab = lambda (2c36) Rightarrow lambda = 648ab2c = 324abc

Passo 9

Como todas as expressões para 36bca = 64acb são iguais, podemos igualar as duas primeiras:
36bc cdot b = 64ac cdot a Rightarrow 36b^2c = 64a^2c
Simplificando:
36b^2 = 64a^2 Rightarrow b^2a^2 = 6436 = 169 Rightarrow ba = 43
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 10

Agora, igualamos as duas últimas expressões para 64acb = 324abc :
64ac cdot c = 324ab cdot b Rightarrow 64a c^2 = 324a b^2
Simplificando:
64c^2 = 324b^2 Rightarrow c^2b^2 = 32464 = 8116 Rightarrow cb = 94
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 11

Agora temos:
ba = 43 e cb = 94
Vamos expressar b = 43a e c = 94b = 94 cdot 43a = 3a em função de :

Passo 12

Agora, substituímos a^29 + (43a)^216 + (3a)^236 = 1 e a^29 + 169a^216 + 9a^236 = 1 na equação da restrição:
a^29 + a^29 + a^24 = 1
Simplificando:

Passo 13

Vamos somar os termos:
a^29 + a^29 = 2a^29
Então:
2a^29 + a^24 = 1
Para somar as frações, vamos encontrar o denominador comum, que é 36:
2a^29 = 8a^236 e a^24 = 9a^236
Assim:
8a^2 + 9a^236 = 1 Rightarrow 17a^236 = 1 Rightarrow 17a^2 = 36 Rightarrow a^2 = 3617 Rightarrow a = 6raiz17

Passo 14

Com b = 43a = 43 cdot 6raiz17 = 8raiz17 , encontramos c = 3a = 3 cdot 6raiz17 = 18raiz17 e :

Passo 15

Finalmente, calculamos o volume máximo:
V = 8abc = 8 cdot 6raiz17 cdot 8raiz17 cdot 18raiz17 = 8 cdot 86417^32 = 691217^32
Simplificando:
V = 691217 raiz17 = 6912 raiz1717 cdot 17 = 6912 raiz17289

Resposta

O volume máximo do paralelepípedo retangular inscrito no elipsóide dado é:
V = 6912 raiz17289 unidades cúbicas ú

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