Qual o volume do maior paralelepípedo retangular inscritível no elipsóide.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o volume do maior paralelepípedo retangular que pode ser inscrito no elipsóide dado pela equação:
Vamos usar cálculo de otimização para determinar esse volume máximo. Precisamos entender como as dimensões do paralelepípedo se relacionam com a equação do elipsóide e aplicar técnicas de otimização para encontrar o volume máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um paralelepípedo retangular cujos lados estão alinhados com os eixos coordenados. Isso significa que seus vértices terão coordenadas
, onde
,
e
são as semi-arestas do paralelepípedo nos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
O volume
desse paralelepípedo é dado por:
Isso porque cada lado do paralelepípedo tem comprimento
,
e
, então o volume é
.
Passo 4
Como o paralelepípedo está inscrito no elipsóide, cada um de seus vértices deve satisfazer a equação do elipsóide:
Essa é a restrição que vamos usar para encontrar os valores de
,
e
que maximizam o volume.
Passo 5
Nosso objetivo é maximizar o volume
sujeito à restrição
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, uma técnica de otimização que ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições.
Passo 6
Introduzimos uma função auxiliar, chamada de Lagrangiana:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 7
Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
,
e
, e as igualamos a zero:
Passo 8
Vamos simplificar as equações das derivadas parciais:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Passo 9
Como todas as expressões para
são iguais, podemos igualar as duas primeiras:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 10
Agora, igualamos as duas últimas expressões para
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 11
Agora temos:
Vamos expressar
e
em função de
:
Passo 12
Agora, substituímos
e
na equação da restrição:
Simplificando:
Passo 13
Vamos somar os termos:
Então:
Para somar as frações, vamos encontrar o denominador comum, que é 36:
Assim:
Passo 14
Com
, encontramos
e
:
Passo 15
Finalmente, calculamos o volume máximo:
Simplificando:
Resposta
O volume máximo do paralelepípedo retangular inscrito no elipsóide dado é: