Calcule
ointC(-yx^2+y^2) d x+(3 x+xx^2+y^2) d y,
onde C é o triângulo formado pelas retas x=2, y=2 e x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de linha fechada
ointC(-yx^2+y^2)dx+(3x+xx^2+y^2)dy,
sendo C o triângulo formado por x=2, y=2 e x+y=2. O conteúdo usado será integrais de linha fechadas e o Teorema de Green, que converte essa integral de contorno numa integral dupla de partial Qpartial x-partial Ppartial y sobre a região triangular.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Green, verificamos que o campo vetorial
P(x,y)=-yx^2+y^2, Q(x,y)=3x+xx^2+y^2
é suave em toda a região interior ao triângulo, pois o ponto (0,0) não pertence a essa região. Logo podemos usar
ointCP,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA,
sendo D o interior do triângulo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 3 + 1x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2
partial Ppartial y = -1x^2+y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2
Logo,
partial Qpartial x-partial Ppartial y = 3 + 2x^2+y^2 - 2(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 = 3 .

Passo 4

A integral de linha vira então
integral duplaD3,dA = 3cdotÁrea(D) Á
O triângulo tem vértices (2,0), (2,2) e (0,2), que formam um triângulo retângulo de catetos de comprimento 2, logo
Área(D)=tfrac12cdot2cdot2=2 Á

Resposta

6

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