Calcule
onde
é o triângulo formado pelas retas
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral de linha fechada
sendo
o triângulo formado por
,
e
. O conteúdo usado será integrais de linha fechadas e o Teorema de Green, que converte essa integral de contorno numa integral dupla de
sobre a região triangular.
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Green, verificamos que o campo vetorial
é suave em toda a região interior ao triângulo, pois o ponto não pertence a essa região. Logo podemos usar
é suave em toda a região interior ao triângulo, pois o ponto
sendo
o interior do triângulo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
A integral de linha vira então
O triângulo tem vértices
,
e
, que formam um triângulo retângulo de catetos de comprimento 2, logo
Resposta
6