Calcule integralC f(x, y) d s, onde
f(x, y)=x-y e C é a circunferência x^2+y^2=a x, a>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x-y ao longo da circunferência C dada por x^2+y^2=a x. O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, e vamos precisar de uma parametrização de C e da fórmula integralC f,ds=integralt0^t1f(r(t))|r'(t)|,dt.

Passo 2

Para parametrizar a circunferência x^2+y^2=a x, note que ela tem centro em (a/2,0) e raio R=a/2. Então escolhemos
r(t)=l(x(t),y(t)r)=l(tfraca2+tfraca2cos t,;tfraca2sin tr), tin[0,2pi]

Passo 3

Agora expressamos f e calculamos |r'(t)|. Primeiro
$$f(r(t))=x(t)-y(t)=\tfrac{a}{2}+\tfrac{a}{2}\cos t-\tfrac{a}{2}\sin t=\tfrac{a}{2}\bigl(1+\cos t-\sin t\bigr).
$$

Passo 4

Em seguida, derivando r(t) temos
$$r’(t)=\Bigl(-\tfrac{a}{2}\sin t,;\tfrac{a}{2}\cos t\Bigr),\quadlogo\quad|r’(t)|=\tfrac{a}{2}.
$$

Passo 5

Agora montamos a integral:
$$\int_C f,ds=\int_0{2\pi}f(r(t))|r’(t)|,dt=\int_0{2\pi}\tfrac{a}{2}(1+\cos t-\sin t)\cdot\tfrac{a}{2},dt=\frac{a2}{4}\int_0{2\pi}(1+\cos t-\sin t),dt.
$$

Passo 6

Por fim, avaliamos as integrais separadas: integral0^2pi1,dt=2pi, integral0^2picos t,dt=0 e integral0^2pisin t,dt=0. Logo
$$\int_C f,ds=\frac{a2}{4}\cdot2\pi=\frac{a2\pi}{2}.
$$

Resposta

\frac{a^2\pi}{2}

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