Calcule
, onde
e
é a circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar
ao longo da circunferência
dada por
. O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, e vamos precisar de uma parametrização de
e da fórmula
.
Passo 2
Para parametrizar a circunferência
, note que ela tem centro em
e raio
. Então escolhemos
Passo 3
Agora expressamos
e calculamos
. Primeiro
$$f(r(t))=x(t)-y(t)=\tfrac{a}{2}+\tfrac{a}{2}\cos t-\tfrac{a}{2}\sin t=\tfrac{a}{2}\bigl(1+\cos t-\sin t\bigr).
$$
Passo 4
Em seguida, derivando
temos
$$r’(t)=\Bigl(-\tfrac{a}{2}\sin t,;\tfrac{a}{2}\cos t\Bigr),\quadlogo\quad|r’(t)|=\tfrac{a}{2}.
$$
Passo 5
Agora montamos a integral:
$$\int_C f,ds=\int_0{2\pi}f(r(t))|r’(t)|,dt=\int_0{2\pi}\tfrac{a}{2}(1+\cos t-\sin t)\cdot\tfrac{a}{2},dt=\frac{a2}{4}\int_0{2\pi}(1+\cos t-\sin t),dt.
$$
Passo 6
Por fim, avaliamos as integrais separadas:
,
e
. Logo
$$\int_C f,ds=\frac{a2}{4}\cdot2\pi=\frac{a2\pi}{2}.
$$
Resposta
\frac{a^2\pi}{2}