Um arame tem a forma de uma curva obtida como interseção da semiesfera x^2+y^2+z^2=16, x >= 0, com o plano y+z=4. Sabendo que a densidade em cada ponto (x, y, z) é dada por rho(x, y, z)=x, mostre que o momento de inércia em relação ao eixo x é igual a 32 M3, onde M é a massa do arame.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um arame que é a interseção da semiesfera x^2+y^2+z^2=16,;x>=0 com o plano y+z=4. A densidade linear em cada ponto é rho(x,y,z)=x. Queremos o momento de inércia em relação ao eixo x, usando integrais de linha e a definição Ix=integral rperp^2,dm.

Passo 2

Para parametrizar a curva, notamos que a interseção esfera–plano é um círculo de centro C=(0,2,2) e raio R=2raiz2 no plano de equação normal (0,1,1). Vetores tangentes na curva são v=(1,0,0) e u=tfrac1raiz2(0,1,-1). Assim, definimos
r(theta)=C+Rcostheta,v+Rsintheta,u=(2raiz2costheta,,2+2sintheta,,2-2sintheta),,thetain[-tfracpi2,tfracpi2]

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento:
$$\mathbf r’(\theta)=(-2\sqrt2\sin\theta,,2\cos\theta,,-2\cos\theta),\qquad|\mathbf r’(\theta)|=2\sqrt2,.
$$

Passo 4

Determinamos a massa total do fio:

Passo 5

Agora calculamos o momento de inércia em relação a x: a distância ao eixo x é rperp^2=y^2+z^2=8(1+sin^2theta). Logo
[I_x=\int_{\mathcal C}(y2+z2)\rho,ds
=\int_{-\pi/2}{\pi/2}8(1+\sin2\theta),(2\sqrt2\cos\theta)(2\sqrt2),d\theta
=64\int_{-\pi/2}{\pi/2}(1+\sin2\theta)\cos\theta,d\theta
=\frac{512}{3}.]

Passo 6

Comparando com M=16, temos Ix=512/3=32M/3, como queríamos mostrar.

Resposta

I_x = \frac{32M}{3}

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