Um arame tem a forma de uma curva obtida como interseção da semiesfera
, com o plano
. Sabendo que a densidade em cada ponto
é dada por
, mostre que o momento de inércia em relação ao eixo
é igual a
, onde
é a massa do arame.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um arame que é a interseção da semiesfera
com o plano
. A densidade linear em cada ponto é
. Queremos o momento de inércia em relação ao eixo
, usando integrais de linha e a definição
.
Passo 2
Para parametrizar a curva, notamos que a interseção esfera–plano é um círculo de centro
e raio
no plano de equação normal
. Vetores tangentes na curva são
e
. Assim, definimos
Passo 3
Calculamos o elemento de comprimento:
$$\mathbf r’(\theta)=(-2\sqrt2\sin\theta,,2\cos\theta,,-2\cos\theta),\qquad|\mathbf r’(\theta)|=2\sqrt2,.
$$
Passo 4
Determinamos a massa total do fio:
Passo 5
Agora calculamos o momento de inércia em relação a
: a distância ao eixo
é
. Logo
[I_x=\int_{\mathcal C}(y2+z2)\rho,ds
=\int_{-\pi/2}{\pi/2}8(1+\sin2\theta),(2\sqrt2\cos\theta)(2\sqrt2),d\theta
=64\int_{-\pi/2}{\pi/2}(1+\sin2\theta)\cos\theta,d\theta
=\frac{512}{3}.]
=\int_{-\pi/2}{\pi/2}8(1+\sin2\theta),(2\sqrt2\cos\theta)(2\sqrt2),d\theta
=64\int_{-\pi/2}{\pi/2}(1+\sin2\theta)\cos\theta,d\theta
=\frac{512}{3}.]
Passo 6
Comparando com
, temos
, como queríamos mostrar.
Resposta
I_x = \frac{32M}{3}