Usando a definição de derivadas parciais, calcule fx(x, y) e fy(x, y)
(a) f(x, y)=2+x-3 y+x^2 y

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2+x−3y+x²y usando a definição de derivada parcial. Vamos usar o conceito de derivada parcial em x e em y, aplicando a definição de limite e depois simplificar com regras de soma e potência.

Passo 2

Para fₓ(x,y), usamos
partial fpartial x(x,y)=limhto0f(x+h,y)-f(x,y)h
Primeiro calculamos f(x+h,y):
f(x+h,y)=2+(x+h)-3y+(x+h)^2y=2+x+h-3y+(x^2+2xh+h^2)y
Então
f(x+h,y)-f(x,y)=h+2xhy+h^2y
Dividindo por h e passando ao limite h→0, obtemos
fx(x,y)=1+2xy

Passo 3

Para f_{y}(x,y), usamos
partial fpartial y(x,y)=limkto0f(x,y+k)-f(x,y)k
Calculamos f(x,y+k):
f(x,y+k)=2+x-3(y+k)+x^2(y+k)=2+x-3y-3k+x^2y+x^2k
A diferença é
f(x,y+k)-f(x,y)=-3k+x^2k
Dividindo por k e fazendo k→0, fica
fy(x,y)=-3+x^2

Resposta

fx(x,y)=1+2xy, fy(x,y)=x^2-3.

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