Calcule integralC f d s, onde
f(x, y)=x^2-y^2 e C é a circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de primeiro tipo
integralCf,ds
onde f(x,y)=x^2-y^2 e C é a circunferência x^2+y^2=4.
O conteúdo aqui é a integral de uma função escalar ao longo de uma curva, para a qual precisamos parametrizar C e obter o elemento de arco ds.

Passo 2

Parametrizamos C por ângulo theta:
x=2costheta, y=2sintheta, 0<=theta<=2pi
Calculamos as derivadas
dxdtheta=-2sintheta e dydtheta=2costheta.

Passo 3

O elemento de arco é
ds = raizl(dxdthetar)^2 + l(dydthetar)^2;dtheta = raiz4sin^2theta +4cos^2theta;dtheta =2,dtheta

Passo 4

Expressão de f em theta:
f(2costheta,2sintheta) = (2costheta)^2 - (2sintheta)^2 =4(cos^2theta-sin^2theta) =4cos2theta
Logo a integral vira
integralCf,ds =integral0^2pi4cos2theta;l(2,dthetar) =integral0^2pi8cos2theta,dtheta

Passo 5

Avaliação da integral trigonométrica:
integral0^2pi8cos2theta,dtheta =8[sin2theta2]0^2pi =4l(sin4pi-sin0r) =0

Resposta

0

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