Calcule
integralC x y z d s, onde sigma(t)=(cos t, sin t, t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralC x,y,z ,ds
sobre a curva paramétrica sigma(t)=(cos t,sin t,t), 0<= t<=2pi. Vamos usar a fórmula da integral de linha em termos de parâmetro.

Passo 2

Em termos de t,
integralC x,y,z ,ds = integral0^2pi l(x(t),y(t),z(t)r),l|sigma'(t)r|,dt

Passo 3

Da parametrização temos
x(t),y(t),z(t)=cos t;sin t;t = tcos tsin t,
e
l|sigma'(t)r| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2 =raiz2
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integralC x,y,z ,ds = raiz2integral0^2pi tcos tsin t,dt

Passo 4

Use a identidade
cos t,sin t=tfrac12sin(2t)
para obter
integralC x,y,z ,ds = raiz22integral0^2pi tsin(2t),dt

Passo 5

Calcule
I=integral0^2pi tsin(2t),dt
por partes, com u=t, dv=sin(2t),dt, du=dt, v=-tfrac12cos(2t). Então
I =l[-tfract2cos(2t)r]0^2pi +tfrac12integral0^2picos(2t),dt =-pi + tfrac12cdot0 =-pi

Passo 6

Substituindo em (4) vem
integralC x,y,z ,ds = raiz22,(-pi) = -piraiz22

Resposta

-piraiz22

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