Calcule integralC(x+y) d s, onde C consiste no menor arco de circunferência x^2+y^2=1 de (1,0) a (0,1) e o segmento de reta de (0,1) a (4,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de primeira espécie integralC(x+y),ds, onde a curva C é composta por dois trechos: o menor arco da circunferência x^2+y^2=1 de (1,0) a (0,1) e em seguida o segmento de reta de (0,1) a (4,3). Vamos usar que, em integrais de primeira espécie, ds=raiz(dx)^2+(dy)^2, e parametrizar cada trecho separadamente.

Passo 2

Para o arco de circunferência, usamos a parametrização x=cos t, y=sin t, com t variando de 0 a tfracpi2. Calculamos
dxdt=-sin t, dydt=cos t, ds=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2,dt=dt
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integralC1(x+y),ds=integral0^pi2(cos t+sin t),dt =l[sin t-cos tr]0^pi2=(1-0)-(0-1)=2

Passo 3

Para o segmento de reta de (0,1) a (4,3), parametrizamos por r(s)=(4s,1+2s), sin[0,1]. Então
drds=(4,2), ds=|r'(s)|,ds=raiz4^2+2^2,ds=2raiz5,ds
Como x=4s e y=1+2s,
integralC2(x+y),ds=integral0^1l(4s+1+2sr),2raiz5,ds =2raiz5integral0^1(6s+1),ds =2raiz5l[3s^2+sr]0^1 =2raiz5cdot4=8raiz5

Passo 4

Somando as contribuições dos dois trechos, obtemos
integralC(x+y),ds=2+8raiz5

Resposta

2+8raiz5

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