Mostre que o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio R em torno de um diâmetro é igual
onde M é a massa do fio.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de um fio homogêneo em forma de circunferência de raio R e massa M, girando em torno de um diâmetro. O conteúdo é momento de inércia para distribuição contínua de massa (linha). Vamos usar a definição
e a densidade linear do fio.
Passo 2
Como o fio é homogêneo de comprimento total
, a densidade linear é
. Assim,
.
Vamos parametrizar a circunferência pelo ângulo . Cada elemento de comprimento é
. A distância de um ponto ao diâmetro (eixo escolhido) é
. Logo,
Vamos parametrizar a circunferência pelo ângulo
Passo 3
Sabendo que
, temos