Mostre que o momento de inércia de um fio homogêneo com a forma de uma circunferência de raio R em torno de um diâmetro é igual M R^22 onde M é a massa do fio.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um fio homogêneo em forma de circunferência de raio R e massa M, girando em torno de um diâmetro. O conteúdo é momento de inércia para distribuição contínua de massa (linha). Vamos usar a definição I=integral r^2,dm e a densidade linear do fio.

Passo 2

Como o fio é homogêneo de comprimento total L=2pi R, a densidade linear é lambda=dfracML=dfracM2pi R. Assim, dm=lambda,dl.
Vamos parametrizar a circunferência pelo ângulo thetain[0,2pi]. Cada elemento de comprimento é dl=R,dtheta. A distância de um ponto ao diâmetro (eixo escolhido) é r=Rsintheta. Logo,
I=integral r^2,dm=integral0^2pi(Rsintheta)^2l(lambda,R,dthetar)=lambda R^3integral0^2pisin^2theta,dtheta

Passo 3

Sabendo que integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi, temos
I=lambda R^3pi=M2pi R,R^3pi=M R^22

Resposta

I=M R^22

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