Determine a aproximação linear da função
no ponto (
) e use-a para aproximar o número
.
Passo 1
O enunciado pede a linearização da função f(x,y,z)=x³√(y²+z²) em (2,3,4) e depois usar essa aproximação para estimar f(1.98,3.01,3.97). O conteúdo é aproximação linear (linearização) de funções de várias variáveis, e vamos precisar calcular derivadas parciais e montar L(x,y,z)=f(a,b,c)+fₓ(a,b,c)(x−a)+fᵧ(a,b,c)(y−b)+f_z(a,b,c)(z−c).
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f. Temos
Então
Passo 3
Agora avaliamos f e as derivadas em (a,b,c)=(2,3,4). Temos √(3²+4²)=5, logo
Passo 4
A fórmula da linearização é
Passo 5
Para aproximar f(1.98,3.01,3.97) usamos Δx=−0.02, Δy=0.01, Δz=−0.03. Então
Resposta
A aproximação linear é L(x,y,z)=40+60(x−2)+\tfrac{24}{5}(y−3)+\tfrac{32}{5}(z−4) e o valor aproximado é 38,656.