Determine a aproximação linear da função f(x, y, z)=x^3 raizy^2+z^2 no ponto ( 2,3,4 ) e use-a para aproximar o número (1,98)^3 raiz(3,01)^2+(3,97)^2.

Passo 1

O enunciado pede a linearização da função f(x,y,z)=x³√(y²+z²) em (2,3,4) e depois usar essa aproximação para estimar f(1.98,3.01,3.97). O conteúdo é aproximação linear (linearização) de funções de várias variáveis, e vamos precisar calcular derivadas parciais e montar L(x,y,z)=f(a,b,c)+fₓ(a,b,c)(x−a)+fᵧ(a,b,c)(y−b)+f_z(a,b,c)(z−c).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f. Temos
f(x,y,z)=x^3raizy^2+z^2
Então
fx=3x^2raizy^2+z^2,
fy=x^3yraizy^2+z^2,
fz=x^3zraizy^2+z^2

Passo 3

Agora avaliamos f e as derivadas em (a,b,c)=(2,3,4). Temos √(3²+4²)=5, logo
f(2,3,4)=2^3cdot5=40,
fx(2,3,4)=3cdot2^2cdot5=60,
fy(2,3,4)=2^335=245=4,8,
fz(2,3,4)=2^345=325=6,4

Passo 4

A fórmula da linearização é
L(x,y,z)=40+60(x-2)+245(y-3)+325(z-4)

Passo 5

Para aproximar f(1.98,3.01,3.97) usamos Δx=−0.02, Δy=0.01, Δz=−0.03. Então
L(1.98,3.01,3.97)=40+60(−0.02)+4,8(0.01)+6,4(−0.03)
=40−1,2+0,048−0,192=38,656

Resposta

A aproximação linear é L(x,y,z)=40+60(x−2)+\tfrac{24}{5}(y−3)+\tfrac{32}{5}(z−4) e o valor aproximado é 38,656.

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