Calcule integralC f, onde:
f(x, y, z)=x+y e C é a curva obtida pela interseção de z=x^2+y^2, z <= 2 e x=y, 0 <= y.

Passo 1

A curva C é a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano x=y para z<=2 e y>=0. Vamos calcular a integral de linha escalar integralC f,ds, em que f(x,y,z)=x+y. Precisamos parametrizar C e usar ds=|r'(t)|,dt.

Passo 2

Como x=y, tomo y=t com t>=0. Então x=t e z=x^2+y^2=2t^2. A condição z<=2 vira 2t^2<=2 ou t<=1. Portanto a parametrização é
r(t)=(t,,t,,2t^2), 0<= t<=1

Passo 3

Calculo r'(t):
r'(t)=(1,,1,,4t), logo
|r'(t)|=raiz1^2+1^2+(4t)^2=raiz2+16t^2 Também (f(r(t))=x+y=2t.] Assim a integral fica
integral0^1 2traiz2+16t^2,dt

Passo 4

Para resolver, fatoro raiz2:
integral0^1 2traiz2+16t^2,dt=2raiz2integral0^1 traiz1+8t^2,dt
Faço a substituição u=1+8t^2, então du=16t,dt e quando t=0 temos u=1, para t=1 u=9. A integral vira
2raiz2integralu=1^9 raiz u16,du=raiz28integral1^9u^1/2du
Integrando:
raiz28cdot23l[u^3/2r]1^9=raiz212(9^3/2-1)=raiz212(27-1)=13raiz26

Passo 5

Portanto o valor da integral de linha é 13raiz2/6.

Resposta

13raiz26

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