Calcule integralC f, onde:
f(x, y, z)=e^z e C é parametrizada por gamma(t)=(1,2, t^2), no intervalo [0,1].

Passo 1

Temos a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=e^z ao longo da curva C parametrizada por gamma(t)=(1,2,t^2) no intervalo [0,1]. É conteúdo de integral de linha de função escalar, e vamos precisar usar a fórmula:
integralC f,ds = integrala^b f(gamma(t)),|gamma'(t)|,dt

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada
gamma'(t) = (0,0,2t)
e em seguida sua norma:
|gamma'(t)| = 2t

Passo 3

Agora, substituímos na integral: f(gamma(t)) = e^t^2, então
integralC f,ds = integral0^1 e^t^2cdot 2t,dt

Passo 4

Para resolver integral0^1 2t e^t^2,dt, fazemos a troca u = t^2, du = 2t,dt. Assim,
integral0^1 2t e^t^2,dt = integral0^1 e^u,du = e^u|0^1 = e - 1

Resposta

e - 1

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