Calcule as seguintes integrais iteradas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada que você mandou:
Aqui estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades quando temos duas variáveis envolvidas. Vou te mostrar passo a passo como resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a que está mais para dentro:
Perceba que dentro dessa integral, a expressão
não depende de
. Isso significa que, para essa parte, ela é uma constante em relação a
. Então, podemos simplificar a integral multiplicando essa constante pelo intervalo de
.
Passo 3
Calculando a integral interna:
Então, a integral interna nos dá
.
Passo 4
Agora, vamos para a integral externa, que é:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas observe que temos um
na integral que pode ser cancelado:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, resolvendo a integral em termos de
:
Voltando para a variável original
:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A integral iterada vale
.