Calcule as seguintes integrais iteradas:
integral0^4 integral0^y raiz9+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada que você mandou:
integral0^4 integral0^y raiz9 + y^2 , dx , dy
Aqui estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades quando temos duas variáveis envolvidas. Vou te mostrar passo a passo como resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a que está mais para dentro:
integral0^y raiz9 + y^2 , dx
Perceba que dentro dessa integral, a expressão raiz9 + y^2 não depende de x. Isso significa que, para essa parte, ela é uma constante em relação a x. Então, podemos simplificar a integral multiplicando essa constante pelo intervalo de x.

Passo 3

Calculando a integral interna:
integral0^y raiz9 + y^2 , dx = raiz9 + y^2 cdot (y - 0) = y cdot raiz9 + y^2
Então, a integral interna nos dá y cdot raiz9 + y^2.

Passo 4

Agora, vamos para a integral externa, que é:
integral0^4 y cdot raiz9 + y^2 , dy
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
u = 9 + y^2
Então, a derivada de u em relação a y é:
dudy = 2y Rightarrow dy = du2y
Mas observe que temos um y na integral que pode ser cancelado:
y cdot raizu cdot du2y = raizu2 , du
Então, a integral fica:
12 integral raizu , du

Passo 5

Agora, resolvendo a integral em termos de u:
12 integral raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C
Voltando para a variável original y:
13 (9 + y^2)^3/2
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
13 [ (9 + 4^2)^3/2 - (9 + 0^2)^3/2 ] = 13 [ (25)^3/2 - (9)^3/2 ]
Calculando os valores:
25^3/2 = 125 e 9^3/2 = 27
Então:
13 (125 - 27) = 13 cdot 98 = 983

Resposta

A integral iterada vale 983.

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