Calcule
, onde
é formada pelo arco de parábola,
de
a
e pelo arco de circunferência,
de
a
.
Dica: Esse exercício é similar a um exemplo que será resolvido na atividade síncrona da semana de 18/10/2020 a 24/10/2020 .
Dica: Esse exercício é similar a um exemplo que será resolvido na atividade síncrona da semana de 18/10/2020 a 24/10/2020 .
Passo 1
Resumo do problema: precisamos calcular a integral de linha
onde
é composto por dois trechos: a parábola $C_1$ dada por $y = x^2 - 4$ de $(0,-4)$ a $(2,0)$ e o arco de circunferência $C_2$ definido por $x^2 + y^2 = 4$ de $(2,0)$ a $(0,-2)$. Vamos usar a definição de integral de linha de função escalar em função do comprimento de arco:
.
Passo 2
Para
(a parábola), parametrizo por $x(t)=t,$ $y(t)=t^2-4$ com $t\in[0,2]$. Então $x’(t)=1$ e $y’(t)=2t$, logo
$$
ds = \sqrt{1 + (2t)^2},dt = \sqrt{1 + 4t^2},dt.
$$
ds = \sqrt{1 + (2t)^2},dt = \sqrt{1 + 4t^2},dt.
$$
A integral fica
$$
\int_{C_1} 8x,ds = \int_{0}^{2} 8t ,\sqrt{1 + 4t^2},dt.
$$
\int_{C_1} 8x,ds = \int_{0}^{2} 8t ,\sqrt{1 + 4t^2},dt.
$$
Fazendo $u = 1 + 4t^2$ (logo $du = 8t,dt$), obtemos
$$
\int_{1}^{17} \sqrt{u},du = \left.\frac{2}{3}u{3/2}\right|_{1}{17} = \frac{2}{3}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr).
$$
\int_{1}^{17} \sqrt{u},du = \left.\frac{2}{3}u{3/2}\right|_{1}{17} = \frac{2}{3}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr).
$$
Passo 3
Para
(o arco da circunferência de raio 2 no quarto quadrante), uso a parametrização
$$
x(\theta) = 2\cos\theta,
$$
x(\theta) = 2\cos\theta,
$$
$$
y(\theta) = -2\sin\theta,
$$
y(\theta) = -2\sin\theta,
$$
com $\theta\in[0,\pi/2]$, pois em $\theta=0$ temos $ (2,0)$ e em $\theta=\pi/2$ temos $ (0,-2)$. Calculando as derivadas,
$$
x’(\theta) = -2\sin\theta,
$$
x’(\theta) = -2\sin\theta,
$$
$$
y’(\theta) = -2\cos\theta,
$$
y’(\theta) = -2\cos\theta,
$$
e
$$
ds = \sqrt{(-2\sin\theta)^2 + (-2\cos\theta)^2},d\theta = 2,d\theta.
$$
ds = \sqrt{(-2\sin\theta)^2 + (-2\cos\theta)^2},d\theta = 2,d\theta.
$$
Então
\[
\int_{C_2} 8x,ds = \int_{0}^{\pi/2} 8\bigl(2\cos\theta\bigr),(2,d\theta)
= 32 \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta,d\theta = 32.
\int_{C_2} 8x,ds = \int_{0}^{\pi/2} 8\bigl(2\cos\theta\bigr),(2,d\theta)
= 32 \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta,d\theta = 32.
Passo 4
Somando as contribuições dos dois trechos, a integral total é
$$
\frac{2}{3}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr) + 32.
$$
\frac{2}{3}\bigl(17^{3/2} - 1\bigr) + 32.
$$